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TRANSFORMATION
Dans ces équations, les restes 
étant tous nécessairement moindres que 
; et ne pouvant être conséquemment que
quelques-uns des nombres 
; il s’ensuit qu’à moins que quelqu’un des premiers ne soit nul, auquel
cas tous les suivans le seraient aussi ; après un nombre de divisions
tout au plus égal à 
on devra retomber sur quelqu’un des restes
déjà obtenus. Or, l’inspection des équations 
suffit pour faire voir que
le procédé par lequel on déduit chacun des restes
ainsi que chacun des quotiens 
de celui qui le
précède immédiatement est uniforme ; d’où il suit que si, par
exemple, le reste 
est égal au reste 
les reste et quotient
et 
seront respectivement égaux aux reste et quotient
et 
; qu’il en sera de même des reste et quotient
et 
comparés aux reste et quotient
et 
, et ainsi de
suite ; c’est-à-dire, que, si les deux suites
ne se terminent pas d’elles-mêmes, elles seront nécessairement périodiques, soit immédiatement, soit à partir d’un
terme dont le rang ne surpassera pas 
; de manière que, dans
tous les cas, le nombre des termes qui précéderont les périodes
augmentées du nombre de ceux de l’une des périodes, sera toujours
moindre que 
On peut même observer que le cas où les deux
suites se termineraient d’elles-mêmes ne fait point exception à la
règle, attendu que la suite 
est elle-même périodique.
2. Si, après avoir mis les équations sous cette forme
