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FORME DES IMAGINAIRES.

En se bornant même aux seuls imaginaires de la forme $a\pm b{\sqrt {-1}}$, ne peut-on pas considérer des fonctions telles, par exemple, que

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .\operatorname {Sin} .\operatorname {Sin} .\ldots \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right),\\&\operatorname {Cos} .\operatorname {Cos} .\operatorname {Cos} .\ldots \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right),\\&\operatorname {Log} .\operatorname {Log} .\operatorname {Log} .\ldots \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)\,;\\\end{aligned}}$

le nombre des sinus, cosinus ou logarithmes étant quelconque, fini ou infini, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, et pouvant même être imaginaire de la forme $m\pm n{\sqrt {-1}}$ ? Ne peut-on pas également considérer des fonctions de la forme

$\left(a\pm a'{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm m'{\sqrt {-1}}|r\pm r'{\sqrt {-1}}}$ ?

Ne peut-on pas aussi considérer des fonctions de la forme

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{\left(a'\pm b'{\sqrt {-1}}\right)^{\left(a''\pm b''{\sqrt {-1}}\right)^{\ldots }}}$

ou de la forme

${\frac {a\pm b{\sqrt {-1}}}{c\pm d{\sqrt {-1}}+{\frac {a'\pm b'{\sqrt {-1}}}{c'\pm d'{\sqrt {-1}}+{\frac {a''\pm b''{\sqrt {-1}}}{c''\pm d''{\sqrt {-1}}+\ldots }}}}}}$

les $a,a',a'',\ldots b,b',b'',\ldots c,c',c'',\ldots d,d',d'',\ldots$ étant liés par une loi connue quelconque, et leur nombre pouvant être indifféremment fini ou infini, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, ou même encore imaginaire de la forme $m\pm n{\sqrt {-1}}$ ? Ne peut-on pas enfin considérer des fonctions d’imaginaires, composées de toutes celles-là et de beaucoup d’autres encore, telles que seraient, par exemple, des différentielles ou intégrales dont l’ordre serait imaginaire de la forme $m\pm n{\sqrt {-1}}$ ?

Il me semble que, dans tous les cas, la voie la plus simple pour parvenir, s’il est possible, à la démonstration du théorème, est celle que voici.

Soit posée l’équation

$x=\phi \left\{A{\sqrt[{2\alpha }]{-1}},\quad B{\sqrt[{2\beta }]{-1}},\quad C{\sqrt[{2\gamma }]{-1}},\ldots \right\}$

et supposons, en premier lieu, que la fonction $\phi$ soit algébrique.