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QUESTIONS RÉSOLUES.

$-{\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1-p^{2}}}}={\frac {c\operatorname {d} s}{s+c'}},$

dont l’intégrale est

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=p)=c\operatorname {Log} .(s+c')+\operatorname {Log} .c'',$

ou$\qquad \qquad p=\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$(2)

Remettant dans (2) pour $p$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}},$ et intégrant de nouveau, il vient

$y=c'''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Cos} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$(3)

Mettant enfin pour $p$ cette même valeur dans $\operatorname {d} x=\operatorname {d} s{\sqrt {1-p^{2}}}$ et intégrant, on aura

$x=c''''+\int \operatorname {d} s.\operatorname {Sin} .\left\{\operatorname {Log} .c''(s+c')^{c}\right\}.\qquad$(4)

On déterminera les cinq constantes par les conditions suivantes : 1.^o qu’à l’origine on a $p=1$ et $s=0\,;$ 2.^o qu’au sommet de la courbe on a $p=0,x=b,y=a\,;$ 3.^o que, quand $x=A,$ on doit avoir $y=B\,;$ 4.^o que, quand $s=0,$ on doit avoir $x=0\,;$ 5.^o enfin que, quand $s=0,$ on doit avoir $y=0.$

La courbe donnée par les équations (3) et (4) est celle dans laquelle (suivant le langage de M. Français) les rayons de courbure sont en progression de grandeur et de position.^[1]

1. La recherche de cette courbe se rattache bien simplement à la théorie développée à la page 42 de ce volume. On a ici $a^{\theta }=R,\ a$ étant une constante ; d’où $\operatorname {d} R=sAR\operatorname {d} \theta ,A$ étant une nouvelle constante. D’un autre côté on a (pag. 49) $\operatorname {d} R=R'\operatorname {d} \theta \,;$ donc $R'=AR,$ et par suite (pag. 51)
   ${\frac {3pq^{2}-r\left(1+p^{2}\right)}{q^{2}}}=A.$

   En traitant cette équation comme son analogue de la page 53, il viens

   ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {Ax+y}{Ax-y}},$

   ce qui donne, en intégrant, et posant, pour abréger,

   ${\sqrt {(A-1)^{2}-4A^{2}}}=C,$
   $Bx\left\{{\frac {y}{x}}-{\frac {A-1-C}{2}}\right\}^{\frac {A+1+C}{2c}}=\left\{{\frac {y}{x}}-{\frac {A-1+C}{2}}\right\}^{\frac {A+1-C}{2C}}.$
   J. D. G.