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QUESTIONS

${\begin{aligned}a_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;&\quad b_{n}=\lambda ^{n-1}(\lambda -1)r\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\,;\\\end{aligned}}$

d’où on conclura

$A-r=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}+\ldots \right.$

$\left.+\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\},$

$\lambda ^{n-1}r-B=r(\lambda -1)\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {3\varpi }{2n}}\right.$

$\left.+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right\}\,;$

et telles sont les équations qui doivent déterminer les deux inconnues $\lambda$ et $r$ du problème.

Si l’on prend la somme de leurs produits respectifs par $A$ et $B,$ cette somme deviendra divisible par $r,$ et en observant qu’en général $\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-k)\varpi }{2n}}=\operatorname {Cos} .{\tfrac {k\varpi }{2n}}$ on aura

$\lambda ^{n-1}A-B=(\lambda -1)\left\{{\begin{aligned}&A\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-2)\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}\right]\\+&B\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{2n}}+\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {2\varpi }{2n}}+\ldots +\lambda ^{n-2}\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-1)\varpi }{2n}}\right]\\\end{aligned}}\right\}$

équation qui ne renferme plus que la seule inconnue $\lambda .$

Dans le cas de l’anse de panier à cinq centres, en posant, pour abréger

${\begin{aligned}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi =&M,\\A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi +B\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi =&N,\\\end{aligned}}$

il viendra$\qquad (A-M)\lambda ^{2}+(M-N)\lambda -(B-N)=0,$

d’où$\qquad \qquad \lambda ={\tfrac {-(M-N)\pm {\sqrt {M-N)^{2}+4(A-M)(B-N)}}}{A-M}}\,;$

la première des deux équations en $\lambda$ et $r$ donnera ensuite

$r={\frac {A}{1+(\lambda -1)\left[\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{6}}\varpi +\lambda \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{3}}\varpi \right]}}$

Si, par exemple on suppose $A=200,Bs=100,$ on trouvera $\lambda =2,6,\ r_{1}=44,\ r_{2}=115,\ r_{3}=300.$

Remarques. L’auteur du problème proposé a eu raison de demander que les rayons forment une progression géométrique, parce qu’alors les changemens de courbure, d’un arc à l’autre, suivent le même rapport ; mais il n’a pas été aussi bien fondé à exiger que les arcs soient semblables ; en effet, dans ce cas, les longueurs des arcs