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QUESTIONS

les deux coordonnées, par rapport à ces axes, de l’une des extrémités d’un diamètre, ce diamètre fera avec l’axe $2a$ un angle dont la tangente tabulaire sera ${\frac {y'}{x'}}\,;$ désignant donc par $x'',y''$ les coordonnées de l’une des extrémités du conjugué de ce diamètre, ce qui donnera ${\frac {y''}{x''}}$ pour la tangente tabulaire de l’angle que formera sa direction avec le même axe, on aura les trois équations

$b^{2}x'^{2}\pm a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2},\qquad \quad$(1)

$b^{2}x''^{2}\pm a^{2}y''^{2}=a^{2}b^{2},\qquad \ \$(2)

$b^{2}x'x''\pm a^{2}y'y''=0\,;$^[1]$\qquad \,$(3)

les signes supérieurs répondant à l’ellipse, et les inférieurs à l’hyperbole.

Si, entre ces trois équations, on élimine $a^{2}$ et $b^{2},$ comme deux inconnues au premier degré, l’équation résultante pourra être mise sous cette forme

$\left({\frac {y'}{x'}}-{\frac {y''}{x''}}\right)(x'y'+x''y'')=0.$

Or, il est aisé de voir que, ni pour l’ellipse ni pour l’hyperbole, le premier des deux facteurs du premier membre de cette équation ne saurait être nul ; d’où il résulte qu’on doit avoir, pour l’une et pour l’autre courbes,

1. La tangente à l’extrémité du premier des deux diamètres ayant pour équation
   $y-y'=\mp {\frac {b^{2}x'}{a^{2}y'}}(x-x'),$

   et l’équation du second diamètre étant $y={\frac {y''}{x''}}x$, pour que ces diamètres soient conjugués l’un à l’autre, il faut que les deux droites soient parallèles ; ce qui donne, en effet,

   $\mp {\frac {b^{2}x'}{a^{2}y'}}={\frac {y''}{x''}},\qquad$ou$\qquad b^{2}x'x''\pm a^{2}y'y''=0.$
   J. D. G.