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PROBLÈMES

$p(\theta '-\theta )=q\left[2\psi +(R+R'-2)\operatorname {Tang} .\psi \right]$

62. Mais n’oublions pas que la fraction ${\frac {b}{a}}$ qui multiplie $P,P',Q,Q',$ dans les formules (55), est elle-même une de nos inconnues.

Faisons, pour abréger, ${\frac {a}{b}}=n$ ; faisons de plus

$P=nM,\qquad Q=nN,\qquad R=nO,$

$P'=nM',\qquad Q'=nN',\qquad R'=nO',$

Les quantités $M,N,O,M',N',O'$ seront alors celles qu’on aura pu immédiatement déduire des formules (55), et que, par conséquent, on pourra regarder commt connues, tandis qu’il faudra considérer comme inconnue la fraction ${\frac {a}{b}}=n$, de même que ${\frac {p}{q}}={\sqrt {n^{3}}}.$

Les équations du numéro précédent deviendront donc

$n(O-O')=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,\qquad$(1)

$n(O+O')-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,$

$n^{2}(MN'-M'N)=2\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi ),\qquad$(2)

$n^{2}(O'O-MM'-NN')=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi ,\qquad$(3)

$(\theta '-\theta ){\sqrt {n^{3}}}=2\psi +\left[n(O+O')-2\right]\operatorname {Tang} .\psi .\qquad$(4)

63. Ce sont là les équations desquelles dépend la solution du problème. Il faut employer la règle de fausse position ; et, pour éviter les équations au-dessus du second degré, il faut commencer par supposer une valeur numérique à l’angle $\chi .$ À l’aide de cet angle, on déterminera l’excentricité $\mu .$ Pour cela, on divisera le quarré de l’équation (1) par l’équation (3), ce qui donnera

$\operatorname {Tang} .^{2}\mu ={\frac {(O-O')^{2}}{2(OO'-MM'-NN')\operatorname {Sin} .^{2}\chi }}.$

64. De là, on passera à l’angle $\psi$. Posant, pour abréger.

${\frac {OO'-MM'-NN'}{MN'-M'N}}=h,$

et divisant la troisième équation par la seconde, il viendra