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FORME
affectés de
dont l’ensemble pourra être représenté par
; en sorte que l’équation (1) deviendra simplement
(2)
![{\displaystyle \qquad (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4d257bdce3d103a3b48e60673c5b79678c1e96)
Mais, par la théorie des quantités exponentielles, théorie indépendante de l’exposant de la base, on a, en désignant par
le logarithme naturel de ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb8c16cf683c8a7a0f548d14c20ad84d00d6ce8)
(3)
![{\displaystyle \quad 1+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)}{1}}\operatorname {l} a+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {l} a\right)^{2}+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {l} a\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e877e19568eb88b5136244d0e853d214ae2b951)
qui, pour les mêmes raisons que ci-dessus, pourra être réduit à la forme
![{\displaystyle a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=c\pm d{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874917b32c7a44a71ce135d5549a5fa985c584fd)
substituant donc cette valeur dans l’équation (2), il viendra, en développant, et posant pour abréger
![{\displaystyle cg-dh=p,\qquad ch+dg=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd66fac8d6657774673849bfccbc2b875b9c0314)
![{\displaystyle (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a834cea865500dad75de7fdcbc321d6142e20d4)
![{\displaystyle \left(c\pm d{\sqrt {-1}}\right)\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right)=(cg-dh)\pm (ch+dg){\sqrt {-1}}=p\pm q{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb20a606bfa358643b2c85d9239101013112d9c)
comme nous l’avions annoncé.
Voici présentement la démonstration géométrique du même théorème, que j’avais annoncée, dans l’ouvrage d’algèbre publié en 1802,
Soit posé
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}=\operatorname {Cot} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d54887696aea6b06e413525f8be9b6c71fab26)
il viendra
![{\displaystyle a={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Cos} .\omega ,\qquad b={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Sin} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69bb62d4d5a8225ad062169d277483b6dd46e86)
donc
![{\displaystyle a\pm b{\sqrt {-1}}=\left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5b6404cb847f5cc37fc93546b60104e663fac5)
et
![{\displaystyle \operatorname {l} \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+\operatorname {l} \left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b9cae3f850823a36045d21677b791b68ede321)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)\pm \omega {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c488ae985f5ade39be28344859f6f199ba3939)
Multipliant les deux membres de cette dernière équation par
il viendra