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D’ASTRONOMIE.

Ainsi donc, ayant trouvé, à l’aide des formules (55), les quantités $P,P',Q,Q',$ multipliées par le facteur ${\frac {b}{a}}$ qui, quoiqu’inconnu, est commun à toutes, et disparait dans la division, on en tirera immédiatement l’angle $\phi '-\phi$ ; c’est l’angle décrit par le rayon vecteur de la comète, dans l’intervalle de temps qui sépare les deux observations.

60. Si l’on développe les sinus et cosinus de $\phi '-\phi ,$ en réduisant tout aux anomalies excentriques, moyennant les formules (45), on en déduira les deux qui suivent :

$PQ'-P'Q=\left[\operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+(\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\operatorname {Sin} .\mu \right]\operatorname {Cos} .\mu ,$

$RR'-PP'-QQ'=\left[1-\operatorname {Cos} .(\varkappa '-\varkappa )\right]\operatorname {Cos} .^{2}\mu .$

61. Pour donner à nos formules encore plus de simplicité, faisons

$\varkappa '+\varkappa =2\chi ,\qquad \varkappa '-\varkappa =2\psi \,;$

d’où

$\varkappa '=\chi +\psi ,\qquad \varkappa =\chi -\psi \,;$

il en résultera

$\operatorname {Sin} .\varkappa '+\operatorname {Sin} .\varkappa =2\operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,\quad \operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa =2\operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,$

$\operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Cos} .\varkappa '=2\operatorname {Sin} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ,\quad \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa '=2\operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi \,;$

et par conséquent

$R-R'=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\chi .\operatorname {Sin} .\psi ,$

$R+R'-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,$

$PQ'-P'Q=2\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi (\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi ),$

$RR'-PP'-QQ'=2\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;$

la dernière des équations (57) prendra alors la forme

$p(\theta '-\theta )=q(2\psi +2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Sin} .\psi ),$

et comme

$R+R'-2=2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\chi \operatorname {Cos} .\psi ,$

elle deviendra finalement