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PROBLÈMES
du problème ; ce qui porte à cinq le nombre de celles que renferment les quatre équations précédentes.
57. La sixième inconnue, c’est l’angle
qui fixe l’instant du passage par l’aphélie. La théorie de l’ellipse fournit les deux équations (44)
![{\displaystyle p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ),\qquad p(\theta '-\delta -\eta )=q(\varkappa '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df38897c890ff786a07679352816fa511cbdb520)
desquelles on tire, par une simple soustraction,
![{\displaystyle p(\theta '-\theta )=q\left[(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91effff941dbba042afad2ed6efbc112c97fcc58)
L’angle
étant ainsi déterminé, le nombre des équations, de même que celui des inconnues, se trouvera de nouveau réduit à cinq.
58. Les quatre équations de (54) pourront être réduites à trois, par l’élimination de l’angle
On a d’abord (51)
![{\displaystyle R=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ,\qquad R'=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3f6b7d019d2c825538db8697d8f1913e5e514)
d’où l’on tire
![{\displaystyle R-R'=\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Cos} .\varkappa '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d1a4cdd4090786768754c4941f55aa89b916b)
![{\displaystyle R+R'=2+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8f9e088b37bd61bc38ac9cf40597996bfbf79b)
![{\displaystyle RR'=1+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa ')+\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\varkappa '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8877d4a21a67c8262fae6db931d5fd45d9d7bc1a)
59. Il conviendra de remarquer les deux expressions littérales de
et de
que l’on obtiendra encore, entièrement débarrassées de l’angle
à l’aide des formules données (47) ; savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )&,\qquad Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ),\\P'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ')&,\qquad Q'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ')\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79afc95db72214b853e12f1e56412005f651751)
il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}PQ'-P'Q&=RR'\operatorname {Sin} .(\phi '-\phi ),\\PP'+QQ'&=RR'\operatorname {Cos} .(\phi '-\phi )\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf31a3845620d550471b36e895f922d635da091)
d’où l’on obtient la formule simple et remarquable
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .(\phi '-\phi )={\frac {PQ'-P'Q}{PP'+QQ'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88203d98ae2594f32b0d8d39a1b6108e4961075)