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PROBLÈMES

du problème ; ce qui porte à cinq le nombre de celles que renferment les quatre équations précédentes.

57. La sixième inconnue, c’est l’angle $\eta ,$ qui fixe l’instant du passage par l’aphélie. La théorie de l’ellipse fournit les deux équations (44)

$p(\theta -\delta -\eta )=q(\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ),\qquad p(\theta '-\delta -\eta )=q(\varkappa '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ')\,;$

desquelles on tire, par une simple soustraction,

$p(\theta '-\theta )=q\left[(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )\right].$

L’angle $\eta$ étant ainsi déterminé, le nombre des équations, de même que celui des inconnues, se trouvera de nouveau réduit à cinq.

58. Les quatre équations de (54) pourront être réduites à trois, par l’élimination de l’angle $\epsilon .$ On a d’abord (51)

$R=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ,\qquad R'=1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa '\,;$

d’où l’on tire

$R-R'=\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Cos} .\varkappa '),$

$R+R'=2+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa '),$

$RR'=1+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\varkappa ')+\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\varkappa '.$

59. Il conviendra de remarquer les deux expressions littérales de $PQ'-P'Q$ et de $PP'+QQ',$ que l’on obtiendra encore, entièrement débarrassées de l’angle $\epsilon ,$ à l’aide des formules données (47) ; savoir

${\begin{aligned}P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )&,\qquad Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ),\\P'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ')&,\qquad Q'=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ')\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ')\,;\\\end{aligned}}$

il en résulte

${\begin{aligned}PQ'-P'Q&=RR'\operatorname {Sin} .(\phi '-\phi ),\\PP'+QQ'&=RR'\operatorname {Cos} .(\phi '-\phi )\,;\\\end{aligned}}$

d’où l’on obtient la formule simple et remarquable

$\operatorname {Tang} .(\phi '-\phi )={\frac {PQ'-P'Q}{PP'+QQ'}}.$