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D’ASTRONOMIE.

grand axe $b,$ duquel dépend le rapport des deux temps périodiques $p$ et $q$ au moyen de l’équation $p^{2}b^{3}=q^{2}a^{3}$ ?

53. Solution. En conservant, pour la première observation, les notations du problème précèdent, on marquera par un accent celles qui se rapportent à la seconde. On désignera donc

par $A,A'$ les deux longitudes géocentriques

par $B,B'$ les deux latitudes géocentriques ;

par $\varkappa ,\varkappa '$ les deux anomalies excentriques

par $r,r'$ les deux rayons vecteurs.

On aura ainsi

$r=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ),\qquad r'=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ').$

54. Les lettres $P,P',Q,Q'$ désigneront encore les fonctions trigonométriques qui suivent

${\begin{aligned}P&=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,\\P'&=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa '\operatorname {Cos} .\mu ,\\Q&=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,\\Q'&=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa '+\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa '\operatorname {Cos} .\mu ,\\\end{aligned}}$

55. On aura donc, en vertu de (48),

${\begin{aligned}{\frac {bP}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta -\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta -A)\operatorname {Cot} .B}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bP'}{a}}&={\frac {\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .(\theta '-\delta )+\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\theta '-A')\operatorname {Cot} .B'}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\{\frac {bQ}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta -\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A)\operatorname {Cot} .B}},\\{\frac {bQ'}{a}}&={\frac {\operatorname {Sin} .(\theta '-\delta )}{\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A')\operatorname {Cot} .B'}},\\\end{aligned}}$

56. Ainsi, la position du plan de l’orbite étant supposée connue, on pourra regarder comme connues les quatre fractions ${\frac {bP}{a}},\ {\frac {bP'}{a}},\ {\frac {bQ}{a}},\ {\frac {bQ'}{a}}\,;$ mais le rapport ${\frac {b}{a}}$ est une des inconnues