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PROBLÈMES

$P=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi ),$

$Q=(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi ),$

on en tire

$1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa ={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\,;$

quantité entièrement connue. En la désignant donc par $R,$ on obtient,

$\operatorname {Sin} .\mu ={\frac {R-1}{\operatorname {Cos} .\varkappa }},$

ce qui change notre dernière équation en

$p(\theta -\delta -\eta )=q\left[\varkappa +(R-1)\operatorname {Tang} .\varkappa \right].$

On en tirera l’anomalie $\varkappa$ par une simple application de la règle de fausse position ; et, après l’avoir trouvée, il ne restera plus que le seul angle $\epsilon$ à déterminer. Or, des deux équations (47)

$P=\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa -\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,$

$Q=\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Sin} .\epsilon \operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\epsilon \operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu \,;$

on tire

$P\operatorname {Cos} .\epsilon +Q\operatorname {Sin} .\epsilon =\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa ,$

$Q\operatorname {Cos} .\epsilon -P\operatorname {Sin} .\epsilon =\operatorname {Sin} .\varkappa +\operatorname {Cos} .\mu \,;$

ce qui donne

$R\operatorname {Cos} .\epsilon =P(\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa )+Q\operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu ,$

$R\operatorname {Sin} .\epsilon =Q(\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .\varkappa )-P\operatorname {Sin} .\varkappa \operatorname {Cos} .\mu \,;$

Le problème sera ainsi résolu. Il pourra servir à déterminer, dans les orbes planétaires, le lieu de l’aphélie et l’excentricité, les autres élémens étant supposés connus.

52. PROBLÈME VII. Connaissant la position du plan de l’orbite, on demande de déterminer, moyennant deux observations, les quatre élémens qui restent ; savoir : l’instant du passage par l’aphélie, ou l’angle $\eta$ ; la position de la ligne des apsides, ou l’angle $\epsilon$ ; l’excentricité de l’orbite, ou l’angle $\mu$ ; enfin le demi-