Il y a environ onze ans qu’ayant vainement cherché, dans les auteurs les plus estimés à cette époque, une démonstration élémentaire du même théorème, je m’occupai à en trouver une, soit algébrique soit géométrique ; j’en obtins, en effet, une fort simple de cette dernière sorte ; c’est celle que j’annonçai en 1802, dans un ouvrage d’algèbre que je publiai à cette époque. Mais, depuis ce temps, M. Garnier ayant donné une démonstration semblable, dans un ouvrage qu’il a publié en 1804, sous le nom d’Analise algébrique, j’ai cru devoir reprendre mes recherches pour obtenir du même théorème une démonstration purement algébrique. Voici celle que j’ai obtenue, et qui me paraît préférable à l’autre ; car, outre qu’elle est fort simple, il me paraît très-convenable de ne faire dépendre la démonstration du principe général que toute fonction de quantités imaginaires est réductible à la forme , de la seule branche des sciences exactes dont ce principe fait partie.
On sait que, quels que soient et on a
on aura donc, en changeant en
Or, toutes les puissances paires de étant égales à , et toutes ses puissances impaires étant égales à il s’ensuit qu’en exécutant toutes les multiplications, entre les accolades du second membre de l’équation (1), on obtiendra une suite de termes réels, dont l’ensemble pourra être représenté par et une suite de termes
