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DES IMAGINAIRES.

La grandeur d’une droite, et sa position, c’est-à-dire, l’angle qu’elle fait avec un axe fixe, sont deux quantités qu’on peut même regarder comme homogènes ; or, comment les liera-t-on pour en faire le nouvel être appelé ligne droite de grandeur et de position ou, plus brièvement, droite dirigée, voilà une question qui ne me parait pas encore assez approfondie. $a$ étant la longeur d’une droite, $\alpha$ l’arc du rayon $=1$ compris dans l’angle qu’elle forme avec un axe fixe, on pourra, sans doute, représenter, en général, la droite dirigée par $\phi (a,a),$ et il faudra tâcher de déterminer la fonction $\phi$ d’après les conditions auxquelles elle doit essentiellement satisfaire. Ainsi, 1.° il faudra qu’à $\alpha =0,\alpha =2\varpi ,.\ldots \alpha =2n\varpi$ réponde $\phi (a,\alpha )=+a,$ et qu’à $\alpha =\varpi ,\alpha =3\varpi ,.\ldots \alpha =(2n+1)\varpi$ réponde $\phi (a,\alpha )=-a,$ : c’est évident ; 2.° il faudra que, de $\phi (a,\alpha )=\phi (b,\beta ),$ on puisse conclure $a=b,\ \alpha =\beta$ : c’est encore évident. Mais faudrat-il, 3.°, eomme M. Français le demande (pag. 62), que de la proportion ${\frac {\phi (a,\alpha )}{\phi (b,\beta )}}={\frac {\phi (c,\gamma )}{\phi (d,\delta )}}$ on puisse conclure ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ et $\alpha -\beta =\gamma -\delta$ ? Je ne vois pas que cela découle nécessairement de l’idée de la fonction $\phi .$ La signification même du rapport ${\frac {\phi (a,\alpha )}{\phi (b,\beta )}}$ est fort obscure. Comment, en effet, peut-on dire d’une droite dirigée qu’elle est double, triple,… d’une autre ? C’est ce qu’onn’aperçoit point à priori. M. Français lui-même paraît l’avoir bien senti, puisqu’il ne parle de la somme des droites dirigées que comme conséquence de ses deux premiers théorèmes (pag. 67). Cependant, je ne m’oppose point à ce qu’on admette cette condition comme un des caractères essentiels de la fonction $\phi$ ; mais alors la définition complète de la droite dirigée sera une définition nominis, non rei, ou, en d’autres termes, droite dirigée sera le nom d’une certaine fonction analitique de la grandeur et de la position d’une droite. Il suivra de là malheureusement qu’on ne construit plus les imaginaires, mais simplement qu’on les ramène à une même forme analitique. Quoi qu’il en soit, voyons quolle sera cette fonction. Il est d’abord clair que