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THÉORIE

$=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}\left\{\operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)\right\}$

$=\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}.e^{\alpha {\sqrt {-1}}}.\operatorname {Sin} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right).$

Donc

$a_{\alpha +\beta {\sqrt {-1}}}=a\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}.ae^{\alpha {\sqrt {-1}}}.\operatorname {Sin} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right).$

Les projections de $a$ sur les trois axes des coordonnées, ou plutôt ses trois composantes seront donc

$a\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\left({\sqrt {-1}}\right),\ {\sqrt {-1}}.a\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right),\ {\sqrt {-1}}.a_{\alpha }.\operatorname {Sin} .\left(\beta {\sqrt {-1}}\right).$

Voilà, Monsieur, le résultat auquel je suis parvenu ; mais je vous avoue que je n’en suis pas encore satisfait. Je voudrais élaguer entièrement la notation imaginaire, comme je l’ai fait pour la géométrie à deux dimensions. Je m’explique : pour la géométrie à deux dimensions, j’ai réduit les droites obliques de la forme $A+B{\sqrt {-1}}$ à celle $a_{\alpha },$ où $a$ représente la grandeur absolue de la droite, et $\alpha$ l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses. Dans la géométrie à trois dimensions, je voudrais exprimer la position d’une droite quelconque par $a_{\alpha _{A}},$ où $a$ exprimerait la grandeur absolue de la droite, $\alpha$ l’angle qu’elle fait avec l’axe des abscisses, et $A$ celui que le plan de l’angle $\alpha$ fait avec le plan des $xy\,;$ mais toutes mes tentatives à cet égard ont été jusqu’ici infructueuses. Je désire que quelqu’un plus habile que moi vienne à bout de completter cette lacune. Quoi qu’il en soit, je suis persuadé que le vrai moyen d’étendre notre théorie des imaginaires à la géométrie à trois dimensions réside dans la considération des angles imaginaires.

Metz, le 8 de novembre 1813.