Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/231

219

DES ÉQUATIONS

Soient faits

${\frac {A}{\sqrt[{m}]{-1}}}=A',\qquad {\frac {B}{\left({\sqrt[{m}]{-1}}\right)}}=B',\ldots \,;$

nous aurons

$y^{2m}+A'y^{2m-1}+B'y^{2m-2}+\ldots -T=0.$

Or, il a été démontré ci-dessus (24) que, si $A',B',\ldots$ étaient des quantités réelles, il existerait une fonction de $A',B',\ldots$ laquelle donnerait au moins deux racines réelles pour $y.\ A',B',\ldots$ n’étant pas réelles, les deux valeurs données par la fonction pourront n’être pas réelles ; mais, de quelque nature qu’elles soient, il suffira de les multiplier par ${\sqrt[{m}]{-1}}$ et nous aurons pour $x,$ deux valeurs correspondantes, compliquées, à la vérité, de différentes sortes d’imaginaires ; mais qu’on pourra toujours ramener (26) à la forme $a\pm b{\sqrt {-1}}.$^[1]

1. Il serait peut-être aussi exact, et il paraîtrait du moins un peu plus simple de raisonner comme il suit.

   Soit toujours l’équation proposée

   $x^{2m}+Ax^{2m-1}+Bx^{2m-2}+\ldots +T^{2}=0.$

   Soit fait

   $T^{2}=-U^{2}\qquad$ou$\qquad U=T{\sqrt {-1}}\,;$

   et alors l’équation proposée deviendra

   $x^{2m}+Ax^{2m-1}+Bx^{2m-2}+\ldots -U^{2}=0.$

   Or, si $U$ était réel, il est démontré qu’alors il existerait au moins deux fonctions réelles de $A,B,\ldots U$ qui pourraient être prises pour valeurs de $x$ Soit

   $x=\mathrm {F} (A,B,\ldots U)$

   l’une de ses valeurs. Si $U$ n’est pas réelle, elle deviendra

   $x=\mathrm {F} (A,B,\ldots T{\sqrt {-1}}),$

   et pourra cesser elle-même d’être réelle ; mais elle ne devra pas moins en résoudre l’équation proposée, et sera de plus (26) de la forme $a\pm b{\sqrt {-1}}.$ Ceci rentre, à peu près, dans le raisonnement qu’on trouve à la note de la page 91 de ce volume.

   J. D. G.