est fonction de on ne connaît la forme de cette fonction que pour les quatre premiers degrés. Il est seulement démontré que la fonction qui donne la valeur de l’inconnue, par les coefficiens dans une équation du degré renferme toutes les fonctions qui donnent les valeurs de l’inconnue, dans les équations de tous les degrés inférieurs. Car étant une fonction de laquelle change de valeur, et non de forme, lorsqu’on y fait varier nous pouvons y supposer et, dans ce cas, les valeurs de seront, outre la valeur zéro, toutes les valeurs que peut donner l’équation du degré immédiatement inférieur. Ainsi, la fonction qui donne les valeurs de , dans l’équation générale du degré renferme la fonction qui donne les valeurs de dans l’équation du degré celle-ci renferme la fonction qui donne les valeurs de , dans l’équation de degré et ainsi de suite.
29. THÉORÈME. Toute équation qui n’a point de racines réelles, en a au moins deux imaginaires de la forme
Démonstration. Une équation qui n’a point de racines réelles est nécessairement (25) de la forme
Je désigne le dernier terme par pour mieux faire entendre qu’il est essentiellement positif.
Soit fait ou
![{\displaystyle x=y{\sqrt[{m}]{-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173d14164b75ac266300cf2e3fdd107217ef315a)
Nous aurons en substituant,
![{\displaystyle -y^{2m}-{\frac {A}{\sqrt[{m}]{-1}}}y^{2m-1}-{\frac {B}{\left({\sqrt[{m}]{-1}}\right)^{2}}}y^{2m-2}-\ldots +T^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa5863c6580a5ca30a8c81b7aa93fc3b7b86978)
ou bien
![{\displaystyle y^{2m}+{\frac {A}{\sqrt[{m}]{-1}}}y^{2m-1}+{\frac {B}{\left({\sqrt[{m}]{-1}}\right)^{2}}}y^{2m-2}+\ldots -T^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeb80ef03191f2342a1d3f62abf0f5a03d4398b)
