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THÉORIE GÉNÉRALE

Démonstration. Soient substitués successivement $0$ et $+M$ à la place de l’inconnue ; les résultats seront de signes contraires : il y aura donc une racine réelle entre $0$ et $+M.$

Soient ensuite substitués successivement $0$ et $-M$ à la place de l’inconnue ; les résultats seront encore de signes contraires ; il y aura donc encore une racine réelle entre $0$ et $-M.$

25. Corollaire. Toute équation qui n’a pas de racines réelles est de degré pair, et son dernier terme est positif.

Ceci ne veut pas dire que toute équation de degré pair, dont le dernier terme est positif, n’a pas de racines réelles,

26. LEMME. Toute fonction dans laquelle entrent les quantités imaginaires ${\sqrt {-1}},{\sqrt[{4}]{-1}},{\sqrt[{6}]{-1}},\ldots {\sqrt[{m}]{-1}},$ peut être ramenée à la forme $A+B{\sqrt {-1}}.$

Démonstration.

{\begin{array}{rrl}\mathrm {I} .&\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)+\left(a'+b'{\sqrt {-1}}\right)&=(a+a')+(b+b'){\sqrt {-1}}\\&&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\mathrm {II} .&\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)-\left(a'+b'{\sqrt {-1}}\right)&=(a-a')+(b-b'){\sqrt {-1}}\\&&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\mathrm {III} .&\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(a'+b'{\sqrt {-1}}\right)&=(aa'-bb')+(ab'+a'b){\sqrt {-1}}\\&&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\mathrm {IV} .&{\frac {a+b{\sqrt {-1}}}{a'+b'{\sqrt {-1}}}}={\frac {\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(a'-b'{\sqrt {-1}}\right)}{\left(a'+b'{\sqrt {-1}}\right)\left(a'-b'{\sqrt {-1}}\right)}}&={\frac {(aa'+bb')+(a'b-ab'){\sqrt {-1}}}{a'^{2}+b'^{2}}}\\&={\frac {aa'+bb'}{a'^{2}+b'^{2}}}+{\frac {a'b-ab'}{a'^{2}+b'^{2}}}{\sqrt {-1}}&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\end{array}}

{\begin{array}{ll}\mathrm {V} .\ \left(a+b{\sqrt {-1}}\right)^{m}&=\left(a^{m}-{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}a^{m-2}b^{2}+{\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.{\tfrac {m-3}{4}}a^{m-4}b^{4}-\ldots \right)\\&+\left({\frac {m}{1}}a^{m-1}b\right.-\left.{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}a^{m-3}b^{3}+\ldots \right){\sqrt {-1}}\\&=A+B{\sqrt {-1}}.\\\mathrm {VI} .\ {\sqrt[{m}]{a+b{\sqrt {-1}}}}&={\sqrt[{m}]{a}}\left(1+{\frac {1}{m}}.{\frac {m-1}{2m}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {1}{m}}.{\frac {m-1}{2m}}.{\frac {2m-1}{3m}}.{\frac {3m-1}{4m}}{\frac {b^{4}}{a^{4}}}+\ldots \right)\\\end{array}}