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DES ÉQUATIONS

22. PROBLÈME. Étant proposé un polynôme de la forme $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T,$ trouver un nombre $M$ qui, substitué à $x$, rende le premier terme plus grand que la somme de tous les autres ?

Solution. Soit $S$ le plus grand des coefficicns $A,B,\ldots T$. Si nous parvenons à rendre $x^{m}$ plus grand que $Sx^{m-1}+Sx^{m-2}+Sx^{m-3}+$$\ldots +S,$ à plus forte raison aurons-nous rendu $x^{m}$ plus grand que $Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T.$

Or,

${\begin{aligned}Sx^{m-1}+Sx^{m-2}+\ldots +S&=S\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +1\right)\\&=S{\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {Sx^{m}}{x-1}}-{\frac {S}{x-1}}.\\\end{aligned}}$

Il faut donc que $x^{m}$ soit plus grand que ${\frac {Sx^{m}}{x-1}}-{\frac {S}{x-1}}.$ Pour cela, nous n’avons qu’à faire $x^{m}={\frac {Sx^{m}}{x-1}},$ ou bien $1={\frac {S}{x-1}}$ ce qui donne $x=1+S.$ C’est-à-dire, que le nombre $M$ qui, mis à la place de $x,$ rendra le premier terme plus grand que la somme de tous les autres est $1+S,$ ou le plus grand des coefficiens du polynôme augmenté d’une unité.

23. THÉORÈME. Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

Démonstration. Soit ce dernier terme négatif, et soit mis zéro pour $x$ ; le résultat sera négatif. Soit mis ensuite $M$ pour $x$ ; le résultat sera positif. Donc l’équation aura au moins une racine réelle positive, comprise entre $0$ et $+M.$

Soit, au contraire, ce dernier terme positif, et soit mis zéro pour $x$ ; le résultat sera positif. Soit mis ensuite $-M$ pour $x$ ; le résultat sera négatif. Donc l’équation aura au moins une racine réelle négative, comprise entre $0$ et $-M.$

24. THÉORÈME. Toute équation de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative.