(6) trouver un nombre positif qui, mis à la place de l’inconnue,
rende la somme des termes positifs égale à la somme des termes
négatifs, ou rende la différence, entre ces deux sommes, moindre
que toute quantité assignée quelconque.
Or, soient ces deux sommes ; puisque et donnent des résultats de signes contraires, il faut que rende plus grand que et que au contraire, rende plus grand que ou réciproquement. Mais nous venons de prouver que, dans cette hypothèse, on peut toujours trouver, entre et un nombre qui rende la différence, entre et moindre que toute quantité donnée ; on peut donc toujours trouver une racine réelle et positive de l’équation proposée, et cette racine est entre et
20. THÉORÈME. Si deux quantités négatives et successivement substituées à l’inconnue, dans une équation quelconque, donnent des résultats de signes contraires, cette équation a au moins une racine réelle négative, comprise entre et
Démonstration. Soit fait Nous aurons une équation en dont les racines positives seront égales aux racines négatives de l’équation en Les résultats seront d’ailleurs les mêmes, si l’on fait ou ou ; puis donc que et substitués à , donnent des résultats de signes contraires, et substitués à donneront aussi des résultats de signes contraires. Donc l’équation en aura au moins une racine réelle et positive, entre et ; donc l’équation en aura au moins une racine réelle et négative, entre et
21. Corollaire. On prouvera, avec la même facilité, que, si deux quantités de signes contraires, et donnent des résultats qui soient aussi de signes contraires, l’équation proposée aura nécessairement une racine réelle comprise entre entre et ou entre et et par conséquent entre et [1]
- ↑ M. Encontre a négligé de remarquer que son problème du n.o 18 fournirait, au besoin, une méthode d’approximation, pour une racine dont on aurait
déjà deux limites.
J. D. G.
