et dans l’autre polynômes, donne pour un résultat plus grand que pour et que le second étant substitué à , dans l’un et dans l’autre polynômes, donne pour un résultat plus grand que pour ; trouver, entre et un nombre qui, mis à la place de , dans l’un et dans l’autre polynômes, donne, pour et pour deux résultats dont la différence soit moindre qu’une certaine quantité , quelque petite qu’on la puisse prendre ?
Solution. Substituons à ; ordonnons par rapport à et soit le plus grand des coefficiens des différentes puissances de dans l’un et dans l’autre polynômes, considérés comme n’en formant qu’un seul ; puis prenons
En substituant au lieu de chacun des deux polynômes recevra une augmentation moindre que
Soit fait , et substituons à , dans et dans ; nous trouverons pour une valeur telle que le nouvel accroissement, tant de que de sera encore moindre que
En continuant à opérer de la même manière, nous ferons croître et à chaque opération, d’une quantité moindre que h ; et ces accroissemens n’étant pas infiniment petits, puisqu’ils sont toujours compris (17) entre deux limites finies, il ne pourra y en avoir qu’un nombre fini entre et ; un nombre fini d’opérations suffira donc pour donner deux résultats consécutifs tels que étant encore moindre que dans le premier, devienne plus grand que dans le second ; or, en passant du premier état au second, et recevront une augmentation moindre que ; donc leur différence, tant dans le premier que dans le second état, sera moindre que ; donc le problème sera résolu.
19. THÉORÈME. Si deux quantités positives successivement substituées à l’inconnue, dans une équation quelconque, donnent des résultats de signes contraires, cette équation a une racine positive, comprise entre et
Démonstration, Trouver une racine positive d’une équation ; c’est
