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THÉORIE GÉNÉRALE

$x$ une autre valeur $4+\beta ,$ telle que le nouveau résultat soit plus grand que $172$ et moindre que $173.$

La substitution de $4+\beta$ à $x$ donne

${\begin{aligned}x^{3}&=4^{3}+3.4^{2}\beta +3.4\beta ^{2}+\beta ^{3}\\5x^{5}&=5.4^{2}+5.2.4\beta +5\beta ^{2}\\4x&=4.4+4\beta \\12&=12\\\end{aligned}}$

Le plus grand des coefficiens des différentes puissances de $\beta$ est évidemment $3.4^{2}+5.2.4+4=92=S\,;$

Ce qui donne $\beta ={\tfrac {1}{93}}$ et $a+\beta =4+{\tfrac {1}{93}}={\tfrac {373}{93}}.$

Le résultat de la substitution est $172+{\tfrac {96840}{804357}}.$

Résultat plus grand que $172$ et moindre que $173.$

17. Remarques. I. Si au lieu de prendre $\beta ={\frac {h}{S+h}}$, on le prend encore plus petit, l’accroissement du polynôme sera moindre, mais demeurera positif.

II. $S$ désignant toujours le plus grand des coefficiens $P,Q,R,\ldots A,$ l’accroissement du polynôme sera moindre que ${\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}.$

III. $S'$ désignant, au contraire, le plus petit de ces mêmes coefficiens, l’accroissement du polynôme sera plus grand que ${\frac {S'\beta }{1-\beta }}-{\frac {S'\beta ^{m+1}}{1-\beta }}.$

Cet accroissement sera donc compris entre les deux limites finies

${\frac {S\beta }{1-\beta }}-{\frac {S\beta ^{m+1}}{1-\beta }}\qquad$et$\qquad {\frac {S'\beta }{1-\beta }}-{\frac {S'\beta ^{m+1}}{1-\beta }}.$

18. PROBLÈME. Étant donnés deux polynômes

${\begin{aligned}P&=Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ldots +T,\\Q&=A'x^{m}+B'x^{m-1}+C'x^{m-2}+\ldots +T',\\\end{aligned}}$

dont tous les termes sont positifs ; et étant donnés, de plus, deux nombres $a,b,$ tels que le premier étant substitué à $x$, dans l’un