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THÉORIE GÉNÉRALE

14. Corollaire. Si le premier membre de l’équation $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots =0$ est une fois décomposé en $m$ facteurs simples, on ne saurait le décomposer en d’autres facteurs simples différens des premiers. Il est donc possible qu’une équation du degré $m$ ait $m$ racines ; mais elle ne saurait en avoir un plus grand nombre.

15. Remarques. I. On démontre ordinairement cette vérité de la manière suivante :

Soit l’équation $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T=0,$ décomposée en $m$ facteurs simples, de manière qu’on ait

$(x-a)(x-b)(x-c)\ldots (x-r)=0,$

et soit $x-\alpha$ un diviseur exact de $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T,$ lequel diviseur ne soit égal à aucun des $m$ diviseurs $(x-a),(x-b),(x-c),\ldots (x-r).$

Ce diviseur donnera un quotient de la forme $x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'\,;$ et nous aurons, par conséquent,

le reste $R.$ s’il y en a un, ne contiendra plus $x$, et l’on aura ${\frac {M}{x-a}}=P+{\frac {R}{x-a}}\,;$ ce qui donne

$M=P(x-a)+R.$

Soit pareillement exécutée la division de $N$ par $x-a,$ le reste $S,$ s’il y en a un, ne contiendra plus $x$ ; et l’on aura

$N=Q(x-a)+S.$

Donc

$MN=PQ(x-a)^{2}+(QR+PS)(x-a)+RS.$

Et, puisque $MN$ est divisible par $x-a,$ il faut que $RS$ soit nul ou divisible par $x-a$ ; or, il ne peut être divisible par $x-a,$ puisqu’il ne renferme pas $x$ ; on doit donc avoir nécessairement $RS=0$ ; et par conséquent $R=0$ ou $S=0$ ; c’est-à-dire, que la division, soit de $M$ soit de $N,$ par $x-a$ ne doit absolument laisser aucun reste.

Il suit de là que, si une formule algébrique est le produit de plusieurs facteurs simples $x-a,x-b,x-c,\ldots ,$ et qu’un facteur simple $x-h$ divise exactement ce produit, ce facteur $x-h$ est identique avec quelqu’un des facteurs $x-a,x-b,x-c,\ldots .$