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DES ÉQUATIONS

$(x-a)(x-b)\left(x^{m-2}+A''x^{m-3}+B''x^{m-4}+\ldots +T''\right)=0.$

S’il arrive encore, ce qui est toujours possible, que l’équation

$x^{m-2}+A''x^{m-3}+B''x^{m-4}+\ldots +T''=0$

ait une racine réelle $c,$ l’équation primitive deviendra

$(x-a)(x-b)(x-c)\left(x^{m-3}+A'''x^{m-4}+B'''x^{m-5}+\ldots +T'''\right)=0.$

Et, si l’on continue à supposer que, le dernier facteur étant égalé à zéro, il soit toujours possible de satisfaire à l’équation résultante, supposition qui, comme nous l’avons vu, n’a rien d’absurde ; il devient évident que le premier membre de l’équation primitive sera décomposable en autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant $m.$ Il devient donc aussi évident que cette équation aura $m$ racines réelles ; car elle sera nécessairement satisfaite, quel que soit celui de ces $m$ facteurs qu’on rend égal à zéro.

12. Corollaire. Nous sommes donc en droit de conclure, non que toute équation du degré $m$ ait $m$ racines réelles, et que son premier membre soit décomposable en $m$ facteurs simples ; mais qu’il existe une infinité d’équations du degré quelconque $m$ qui ont $m$ racines réelles, et dont le premier membre est décomposable en $m$ facteurs simples. Chacun peut même composer à volonté, autant qu’il lui plaira, de ces sortes d’équations.

13. LEMME. Le produit de deux ou de plusieurs facteurs simples, tels que $x-a,x-b,x-c,$ ne peut être exactement divisé par un facteur simple, qu’autant que ce facteur est un de ceux qui ont concouru à former ce produit.

C’est ce qu’on démontre dans la théorie des nombres.^[1]

1. Soient $M,N$ deux facteurs algébriques, dont le produit $MN$ est divisible par le facteur simple $x-a$ ; $je$ dis que l’un, au moins, des deux facteurs $M,N$ est divisible par $x-a.$

   En effet, soit exécutée, autant que possible, la division de $M$ par $x-a$ ;