5. Le second théorème fondamental exige des connaissances plus profondes, ce qui oblige les analistes à ne le donner que vers la fin de la théorie des équations, tandis qu’il devrait être placé au commencement, puisqu’on en suppose la vérité dans toute cette même théorie. Je crois donc rendre un service de quelque importance aux élèves qui suivent les classes de mathématiques spéciales, en démontrant ici, d’une manière facile, les deux théorèmes dont il s’agit, sans rien supposer au-delà des connaissances qu’on a dû, ou du moins qu’on a pu acquérir avant de s’occuper de cette matière.
6. Hypothèses et définitions. Les équations que nous considérons ici sont de la forme
Les exposans sont supposés entiers et positifs. Les coefficiens au nombre desquels nous comprenons le terme connu sont réels, mais peuvent être indifféremment entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls.
Tout nombre qui, mis à la place de , satisfait à l’équation, est dit, racine de cette équation.
Les racines des équations peuvent être déterminées d’une manière exacte ou d’une manière approchée.
Une racine est déterminée d’une manière exacte, lorsqu’un nombre substitué à réduit absolument le premier membre à zéro. Une racine est déterminée d’une manière approchée, lorsqu’on a une suite de nombres qui, substitués successivement à , rendent le premier membre de plus en plus petit, et peuvent le rendre moindre que toute grandeur donnée, quelque petite qu’on la suppose.
7. THÉORÈME. Si un nombre mis à la place de dans une équation de la forme ci-dessus, satisfait à cette équation, ou, ce qui revient au même, en réduit le premier membre à zéro, ce premier membre est exactement divisible par
Démonstration. Soit exécutée, autant que possible, la division
