ordonnée suivant les puissances de cette inconnue, qu’on suppose toujours entières et positives, son premier membre est nécessairement décomposable en facteurs simples de la forme réelle ou de la forme imaginaire
2. L’illustre Lagrange, dans son beau Traité de la résolution des équations numériques, démontre le premier de ces deux théorèmes en supposant le second.
« Soient, dit-il, les racines de l’équation ; elle se réduira, comme on sait, à cette forme Or, soient les nombres qui, substitués à , donnent des résultats de signes contraires, il faudra que ces deux quantités
soient de signes contraires ; par conséquent, il faudra qu’il y ait, au moins, deux facteurs correspondans, comme et qui soient de signes contraires ; donc il y aura, au moins, une des racines de l’équation, comme qui sera entre les deux nombres et c’est-à-dire, moindre que le plus grand de ces deux nombres, et plus grande que le plus petit ; donc cette racine sera nécessairement réelle. »
3. Lagrange convient lui-même, dans ses notes, que cette démonstration peut laisser du doute, relativement aux facteurs imaginaires, ce qui l’oblige à en donner une autre qui n’est pas sujette à la même difficulté.
« Représentons, dit-il, en général l’équation proposée par étant la somme de tous les termes qui ont le signe et la somme de tous les termes qui ont le signe Supposons que les deux nombres soient positifs, et que soit plus grand que en faisant on a et qu’en faisant on ait il est clair que, dans le premier cas, sera plus petit que et que, dans le second, sera plus grand que Or, par la forme des quantités et qui ne contiennent que des termes positifs, et des puissances entières et positives, il est évident que
