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ÉLÉMENS D’UNE ELLIPSE.

${\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}{qr}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{rp}}={\tfrac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{pq}}\,;$

attendu que ces trois expressions se réduisent également à

${\frac {\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)+\operatorname {Sin} .(P-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}.$

Il ne reste plus à déterminer que le demi-grand axe de l’orbite. On a

$a={\frac {pqr}{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.{\frac {\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)+\operatorname {Sin} .(P-R)}{pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)+rp\operatorname {Sin} .(P-R)}}$^[1]

En remarquant que

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(R-Q)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q),\\\operatorname {Cos} .(P-R)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R),\\\operatorname {Cos} .(Q-P)&=1-2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\,;\\\end{aligned}}$

l’expression de $F^{2}$ donnée ci-dessus peut être réduite à cette forme plus simple

${\begin{aligned}F^{2}&=4qr(p-q)(p-r)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(R-Q)\\&+4rp(q-r)(q-p)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(P-R)\\&+4pq(r-p)(r-q)\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\\\end{aligned}}$

1. Il convient de remarquer que le numérateur $\operatorname {Sin} .(Q-P)+\operatorname {Sin} .(R-Q)$$+\operatorname {Sin} .(P-R)$ peut être réduit à la forme suivante, plus commode pour le calcul par logarithmes,
   $-4\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(Q-P)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(R-Q)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(P-R).$

   On peut remarquer aussi que le dénominateur $pq\operatorname {Sin} .(Q-P)+qr\operatorname {Sin} .(R-Q)$ $+rp\operatorname {Sin} .(P-R)$ n’est autre chose que le double de l’aire du triangle qui a ses sommets aux trois points donnés.

   J. D. G.