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ÉLÉMENS

\mathrm {AF} =a(1+\operatorname {Sin} .\lambda )

{\begin{aligned}Ang.\mathrm {AFP} &=P-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFP} &=Q-\phi ,\\Ang.\mathrm {AFR} &=R-\phi .\\\end{aligned}}

Et, par les propriétés connues de l’ellipse, on trouvera

{\begin{aligned}p&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\q&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}},\\r&={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}}.\\\end{aligned}}

Divisant successivement la première de ces deux équations par les deux autres, il vient

{\begin{aligned}{\frac {p}{q}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(Q-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}},\\{\frac {p}{r}}&={\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(R-\phi )}{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .(P-\phi )}}.\\\end{aligned}}

Il en résulte les deux équations qui suivent

{\begin{aligned}p-q&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda ,\\p-r&=\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}\operatorname {Sin} .\lambda .\\\end{aligned}}

En égalant entre elles les valeurs de $\operatorname {Sin} .\lambda$ tirées de ces deux équations, il vient

\operatorname {Sin} .\lambda ={\frac {p-q}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )}}

={\frac {p-r}{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )}},

et par conséquent

(p-q)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-r\operatorname {Cos} .(R-\phi )\right\}

=(p-r)\left\{p\operatorname {Cos} .(P-\phi )-q\operatorname {Cos} .(Q-\phi )\right\}

en développant $\operatorname {Cos} .(P-\phi ),\operatorname {Cos} .(Q-\phi ),\operatorname {Cos} .(R-\phi ),$ et divisant ensuite par $\operatorname {Cos} .\phi ,$ on tire de cette équation

\operatorname {Tang} .\phi =-{\frac {p(r-q)\operatorname {Cos} .P+q(p-r)\operatorname {Cos} .Q+r(q-p)\operatorname {Cos} .R}{p(r-q)\operatorname {Sin} .P+q(p-r)\operatorname {Sin} .Q+r(q-p)\operatorname {Sin} .R}}.