Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/204

194

QUESTIONS

tel cône, ayant pour base le cercle décrit du centre $\mathrm {C} ,$ avec le rayon $\mathrm {CB=CD} =r$ ; soient, de plus, $\mathrm {AS} =h,\mathrm {AC} =a,AP=t,\mathrm {PM} =u,$ ce qui nous fournit l’équation $(a-t)^{2}+u^{2}=r^{2}.$ On aura, d’après cela

$\mathrm {d} A={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} t{\sqrt {\frac {h^{2}r^{2}+\left(a^{2}-r^{2}-at\right)^{2}}{r^{2}-(a-t)^{2}}}}$

différentielle qui n’est intégrable dans aucun cas. On trouvera ensuite

$\mathrm {d} s={\frac {hr^{2}\mathrm {d} t}{h^{2}r^{2}+\left(a^{2}-r^{2}-at\right)^{2}}}.{\sqrt {\frac {h^{2}+r^{2}-a^{2}+2at}{r^{2}-(a-t)^{2}}}}.$

D’après l’essai que j’en ai fait, cette différentielle m’a paru aussi peu intégrable que la précédente.

En faisant

$y={\sqrt {h^{2}+r^{2}-a^{2}+2at}},$

et posant de plus, pour abréger

$a^{2}+r^{2}+h^{2}=m^{2},\qquad a^{2}-r^{2}+h^{2}=n^{2},$

cette différentielle deviendra

$\mathrm {d} s={\frac {8hr^{2}y^{2}\mathrm {d} y}{\left(4h^{2}r^{2}+n^{4}-2n^{2}y^{2}+y^{4}\right){\sqrt {4a^{2}r^{2}-m^{4}+2m^{2}y^{2}-y^{4}}}}}\,;$

formule qui n’est pas susceptible d’être intégrée.

11. L’une des courbes qui semblerait promettre des résultats plus favorables, c’est la développée de l’ellipse, comprise sous l’équation