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RÉSOLUES.

9. Prenons pour premier exemple le cône droit ayant $\mathrm {A}$ pour centre de sa base, et $r$ pour rayon de cette base. Ici on aura $\mathrm {d} r=0$ ; la différentielle de la surface conoïdique deviendra donc

$\mathrm {d} A={\tfrac {1}{2}}r\mathrm {d} \phi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}},$

ayant pour intégrale

$A={\tfrac {1}{2}}r\phi {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}+C\,;$

ce qui donne, pour la surface entière du cône $\varpi r{\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$. Faisant, pour abréger, le côté du cône ou ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}={\mathcal {f}},$ on aura $\mathrm {d} s={\frac {h\mathrm {d} \phi }{\mathcal {f}}}$ et $s={\frac {h\phi }{\mathcal {f}}}.$ Ainsi, la somme des angles extérieurs, pour le cône entier, étant d’après cela ${\frac {2\varpi h}{\mathcal {f}}},$ la capacité de l’angle au sommet deviendra ${\frac {2\varpi ({\mathcal {f}}-h)}{\mathcal {f}}}.$ On aura donc la proportion : l’angle droit, ou ${\frac {\varpi }{2}},$ est à ${\frac {2\varpi ({\mathcal {f}}-h)}{\mathcal {f}}},$ comme l’orthoèdre est à la capacité de l’angle qu’on cherche, lequel, par conséquent, sera égal à l’orthoèdre multiplié par ${\frac {4({\mathcal {f}}-h)}{\mathcal {f}}}.$ Effectivement, l’angle en question occupe, sur la surface d’une sphère du rayon ${\mathcal {f}},$ une calotte sphérique de la hauteur ${\mathcal {f}}-h,$ dont la surface sera, par conséquent, $2\varpi {\mathcal {f}}({\mathcal {f}}-h)\,;$ d’un autre côté, l’orthoèdre, égal au huitième de cette sphère, sera ${\frac {\varpi {\mathcal {f}}^{2}}{2}}\,;$ divisant donc la première expression par la seconde, on aura la fraction ${\frac {4({\mathcal {f}}-h)}{\mathcal {f}}},$ que le précédent calcul nous a fait obtenir.

10. On sait que la surface du cône oblique se refuse à tous les moyens connus d’intégration. On peut en conclure, à plus forte raison, que la capacité de son angle au sommet se trouvera hors du domaine de l’analise actuelle. Soit $\mathrm {SA}$ (fig. 6) la hauteur d’un