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QUESTIONS

Soit

$y^{2}=4cx,\qquad$(1)

l’équation de la parabole, et soient les coordonnées des points $\mathrm {M',M'',O}$ et $\mathrm {F}$ ainsi qu’il suit

${\text{pour M'}}\left\{{\begin{aligned}x'&,\\y'&,\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour M''}}\left\{{\begin{aligned}x''&,\\y''&\,;\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour O}}\left\{{\begin{aligned}a&,\\b&,\\\end{aligned}}\right.\ {\text{pour F}}\left\{{\begin{aligned}c&,\\0&,\\\end{aligned}}\right.$

on aura conséquemment

$y'^{2}=4cx',\qquad y''^{2}=4cx''.\qquad$(2)

Les équations des tangentes ; par les points $\mathrm {M',M''}$ seront

$yy'=2c(x+x'),\qquad yy''=2c(x+x'')\,;\qquad$(3)

et, comme le point $\mathrm {O}$ appartient à la fois à ces deux tangentes, on aura

$by'=2c(a+x'),\qquad by''=2c(a+x'')\,;\qquad$(4)

d’où on tire, en ayant égard aux équations (2)

$a={\frac {y'y''}{4c}},\qquad b={\tfrac {1}{2}}(y'+y'').\qquad$(5)

Cela posé on a

$\mathrm {\overline {M'O}} ^{2}=(x'-a)^{2}+(y'-b)^{2}=\left\{{\frac {y'^{2}}{4c}}-{\frac {y'y''}{4c}}\right\}^{2}$

$+\left\{y'-{\tfrac {1}{2}}(y'-y'')\right\}^{2}={\frac {y'^{2}+4c^{2}}{16c^{2}}}(y'-y'')^{2},$

ou

$\mathrm {\overline {M'O}} ^{2}={\frac {x'+c}{4c}}(y'-y'')^{2},$

et on a pareillement

$\mathrm {\overline {M''O}} ^{2}={\frac {x''+c}{4c}}(y'-y'')^{2}\,;$

mais, d’un autre côté, on a aussi