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D’ASTRONOMIE

$A={\frac {(n\varpi +\epsilon )pq}{2\varpi (q-p)}}.$

Telle est la valeur du premier coefficient de la série.

31. Les coefficiens $B,B'$ seront ce que deviennent, dans le cas de $\lambda =0,\mu =0,$ les deux rapports différentiels partiels ${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }},{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }}.$ On a trouvé (4), dans le premier problème, pour la différentielle complète de $\phi ,$

$\operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;$

on aura de même, pour la seconde orbite,

$\operatorname {d} \psi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\psi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{\operatorname {Cos} .\mu }}\operatorname {d} \mu .$

Égalant entre elles ces deux différentielles, ce qui est effectivement l’équation de condition (29) des syzygies, on en tirera la différentielle complète de $t$ qui doit répondre à la nature du problème ; ce qui donnera ensuite, pour les rapports différentiels ${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }},{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }},$

${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }}=+{\frac {1}{2\varpi }}.{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}-p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}},$

${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }}=-{\frac {1}{2\varpi }}.{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}-p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}}.$

32. Il ne restera qu’à faire, dans ces expressions, $\lambda =0,\mu =0,$ ce qui donne $\phi ={\frac {2\varpi A}{p}},\psi ={\frac {2\varpi A}{q}}$, pour avoir les deux coefficient $B,B'.$ On trouvera ainsi

$B={\frac {pq\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}}{\varpi (q-p)}},\qquad B'={\frac {pq\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{q}}}{\varpi (q-p)}}.$

33. Les coefficiens $C,C',C''$ des termes du second ordre seront ce que deviennent, dans le même cas de $\lambda =0,\mu =0,$ les trois