Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/179

169

D’ASTRONOMIE.

deux planètes auront été ou seront, à la fois, dans l’une de leurs apsides, il faudra déterminer les deux nombres entiers $m$ et $n$ de manière qu’ils remplissent le plus exactement que possible la condition

${\frac {\alpha +m\varpi }{2\varpi }}p={\frac {\beta +n\varpi }{2\varpi }}q,\quad$ou$\quad mp-nq={\frac {\beta q-\alpha p}{\varpi }}\,;$

et l’on sent que la solution de cette question ne peut présenter de difficulté.

17. PROBLÈME III. On demande, pour un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète généralement exprimée par une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des excentricités de l’orbite de la planète et de celle de la terre ?

18. Solution. Supposons que la terre et la planète ayant quitté au même instant leurs aphélies $\mathrm {A,B}$ (fig.1), soient arrivées, au bout du temps $t,$ aux points $\mathrm {P,Q}$ de leurs orbites respectives. en désignant par $\mathrm {F}$ le foyer commun ou le centre du soleil, et supposant que la ligne des équinoxes soit $\mathrm {EE'}$, l’angle $\mathrm {EHQ}$ sera la longitude géocentrique de la planète. Désignons de plus ;

par $p$ et $q$ les durées des révolutions anomalistiques,

par $a$ et $b$ les demi-grands axes des deux orbites,

par $a\operatorname {Cos} .\lambda$ et $b\operatorname {Cos} .\mu$ leurs demi-petits axes,

par $a\operatorname {Sin} .\lambda$ et $b\operatorname {Sin} .\mu$ leurs excentricités,

par $\alpha$ et $\beta$ les longitudes $\mathrm {EFA,EFB}$ des deux aphélies,

par $\phi$ et $\psi$ les deux anomalies vraies $\mathrm {AFP,BFQ}$, à l’époque $t,$

par $\phi '$ et $\psi '$ les deux anomalies de l’excentrique,

par $r$ et $s$ les deux rayons vecteurs $\mathrm {FP,FQ,}$

et enfin par $\nu \!\nu$ la longitude géocentrique demandée $\mathrm {EHQ.}$

19. Les deux longitudes héliocentriques seront ainsi les angles $\mathrm {EFP,EFQ} \,;$ et l’on aura

$\mathrm {EFP} =\alpha -\phi ,\qquad \mathrm {EFQ} =\beta -\psi \,;$

ce qui donne

$\operatorname {Tang} .\nu \!\nu ={\frac {s\operatorname {Sin} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Sin} .(\alpha -\phi )}{s\operatorname {Cos} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Cos} .(\alpha -\phi )}}.$