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PROBLÈMES

15. Dans le cas de $t=0,$ on aura $A=0,\ \operatorname {Cos} .A=1,$ et $r=1+\lambda -{\frac {\lambda ^{3}}{6}}+{\frac {\lambda ^{5}}{120}}-\ldots$, ou bien, $r=1+\operatorname {Sin} .\lambda .$ Dans le cas de $t={\tfrac {1}{2}}p,$ on aura $A=\varpi ,\ \operatorname {Cos} .A=-1,$ et $r=1-\lambda +{\frac {\lambda ^{3}}{6}}-{\frac {\lambda ^{5}}{120}}+\ldots$ ou bien, $r=1-\operatorname {Sin} .\lambda .$ Il est presque superflu de remarquer que ces deux expressions $1+\operatorname {Sin} .\lambda ,1-\operatorname {Sin} .\lambda ,$ sont effectivement celles des distances du foyer de l’ellipse à ses deux apsides. Faisant enfin $t={\tfrac {1}{4}}p,$ on aura, $A={\tfrac {1}{2}}\varpi ,\ \operatorname {Cos} .A=0,$ et $r=1+\lambda ^{2}-\lambda ^{4}+\lambda ^{6}-\ldots$ ou bien, $r={\frac {1+2\lambda ^{2}}{1+\lambda ^{2}}}.$ Ainsi, le rayon vecteur qui répond au quart de la révolution est une fonction algébrique de la quantité angulaire $\lambda .$

16. Nous nous proposerons, en troisième lieu, de déterminer, pour un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète, moyennant une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des excentricités de la planète et de la terre. L’extrême complication des calculs auxquels nous conduit le développement des coefficiens nous oblige à faire une supposition qui heureusement est admissible, et qui ne restreint en aucune manière la généralité du problème. Nous supposerons que, la terre étant dans l’aphélie de son orbite, la planète soit en même temps à une très-petite distance de l’une de ses deux apsides. De pareilles époques sont toujours assignables, et leurs retours doivent former des périodes que l’on peut déterminer avec toute la précision qu’on désire. Soient, en effet, $p$ et $q,$ les durées des révolutions anomalistiques des deux planètes et $\alpha ,\beta$ leurs anomalies vraies, pour une époque quelconque. Il est clair que la première des deux planètes passera par l’une de ses apsides au bout d’un temps égal à ${\frac {\alpha +m\varpi }{2\varpi }}p,$ tandis que l’autre passera par l’un des siens au bout d’un temps ${\frac {\beta +n\varpi }{2\varpi }}q,$ : les deux nombres $m,n$ étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Donc, pour déterminer une des époques où les