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D’ASTRONOMIE.

${\begin{aligned}2C&=+5\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A,\\6D&=+\operatorname {Sin} .A\left(10-26\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\24E&=-\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A\left(145-206\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\120F&=-\operatorname {Sin} .A\left(306-2228\operatorname {Cos} .^{2}A+2194\operatorname {Cos} .^{4}A\right),\\\end{aligned}}$

et ainsi des autres. On aura $\phi =A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}+^{\ldots }.$ La série, ordonnée selon les puissances ascendantes de la petite fraction angulaire $\lambda ,$ est convergente par elle-même ; et les coefficiens nutnériques qui accompagnent les puissances de $\operatorname {Cos} .A$ ne mettent aucun obstacle à cette convergence.

9. La série donnée par l’illustre auteur de la Mécanique céleste (tome I, page 181), est

$\phi =A+\left(2e-{\tfrac {1}{4}}e^{3}+{\tfrac {5}{96}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .A+\left({\tfrac {5}{4}}e^{2}-{\tfrac {31}{24}}e^{4}+{\tfrac {17}{192}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .2A$

$+\left({\tfrac {13}{12}}e^{3}-{\tfrac {43}{64}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .3A+\left({\tfrac {103}{96}}e^{4}-{\tfrac {451}{480}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .4A$

$+{\tfrac {1097}{960}}e^{5}\operatorname {Sin} .5A+{\tfrac {1223}{960}}e^{6}\operatorname {Sin} .6A.$

Pour la transformer dans la nôtre, il suffira de mettre à la place de $\operatorname {Sin} .2A,\operatorname {Sin} .3A,\ldots$ les formules connues, ordonnées selon les puissances ascendantes de $\operatorname {Cos} .A$ ; il faudra faire de plus $e=\operatorname {Sin} .A$ et changer enfin les signes de $\lambda$ et de toutes ses puissances impaires, attendu que, dans notre formule, les anomalies sont comptées, non du périhélie, mais de l’aphélie. On reconnaîtra bientôt ainsi l’identité absolue entre l’une et l’autre.

10. Faisant, dans cette formule, $t=p$ ou $t={\tfrac {1}{2}}p,$ on aura $\phi =A.$ Etsî l’on fait $t={\tfrac {1}{4}}p,$ il résultera $\phi =90^{\circ }-2\lambda +{\tfrac {5}{3}}\lambda ^{3}-{\tfrac {55}{20}}\lambda ^{5}+\ldots$. On aura donc $90^{\circ }-\phi =2\lambda -{\tfrac {5}{3}}\lambda ^{3}+{\tfrac {55}{20}}\lambda ^{5}-\ldots \,;$ et telle est aussi, à très-peu près, la plus grande équation du centre.

11. PROBLÈME II. On demande d’exprimer le rayon vecteur $\mathrm {r} ,$ par une série analogue à la précédente, savoir $\mathrm {r} =1+\mathrm {B} \lambda +\mathrm {C} \lambda ^{2}+\mathrm {D} \lambda ^{3}+\ldots \,;$ le demi-grand axe étant supposé égal à l’unité ?

12. Solution. On a, par la théorie connue de l’ellipse,

$r={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.$