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PROBLÈMES

dans aucun cas. Les coefficiens de la nôtre seront des expressions finies ; et elle se trouvera ainsi exempte du défaut de l’autre.

3. Solution. Le premier terme est ce que devient $\phi ,$ dans le cas de $\lambda =0,$ ce qui donne ${\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '=\phi$. Ainsi $A={\frac {2\varpi t}{p}}$. Les autres coefficiens seront ce que deviennent, dans ce même cas de $\lambda =0,$ les coefficiens différentiels partiels ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}\phi }{\operatorname {d} t^{3}}},\ldots$ pris en regardant $\lambda$ comme la seule variable, et le temps $t$ comme exempt de différentiation. Cherchons d’abord l’équation différentielle complète entre $\operatorname {d} t,\operatorname {d} \lambda$ et $\operatorname {d} \phi .$

4. De $\operatorname {Sin} .\phi '={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}$ ou de

$0=\operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ,$

on tire en différentiant

${\begin{aligned}0&=\operatorname {d} \lambda (\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi )\\0&-\operatorname {d} \phi (\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )\\0&-\operatorname {d} \phi '\operatorname {Cos} .\phi '(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )\\\end{aligned}}$

En mettant à la place de $\operatorname {Sin} .\phi '$ et de $\operatorname {Cos} .\phi '$ leurs expressions en $\lambda$ et en $\phi ,$ cette équation deviendra divisible par $\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda ,$ et fournira, après les réductions

$\operatorname {d} \phi '={\frac {\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.$

L’autre équation

${\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ',$

donne, après avoir été différentiée et réduite

$\operatorname {d} \phi '=-\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{p}}.{\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.$

Égalant entre elles les deux expressions de $\operatorname {d} \phi ',$ on aura une équation entre les trois différentielles $\operatorname {d} t,\operatorname {d} \lambda ,\operatorname {d} \phi$, d’après laquelle