Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/171

161

PROBLÈMES D’ASTRONOMIE.

ASTRONOMIE.

Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmes
d’astronomie ;

Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

1. Soient, $p$ le temps périodique d’une planète ; $a,$ le demi-grand axe ; $a\operatorname {Cos} .\lambda ,$ le demi-petit axe ; $a\operatorname {Sin} .\lambda ,$ l’excentricité ; $\phi ,$ l’anomalie vraie ; $\phi ',$ l’anomalie de l’excentrique ; $t,$ le temps, compté depuis l’aphélie ; ce qui donne ${\frac {2\varpi t}{p}}$ pour l’anomalie moyenne. On parviendra de $\phi$ à $\phi ',$ et de là à $t,$ moyennant les équations connues

${\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ',\quad \operatorname {Sin} .\phi '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Cos} .\phi '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.$

2. PROBLÈME I. Connaissant le temps $t,$ et par conséquent l’anomalie moyenne ${\frac {2\varpi t}{p}}$ ; on demande l’anomalie vraie $\phi ,$ exprimée par une série disposée selon les puissances ascendantes de l’excentricité $\lambda$, telle que $\phi =\mathrm {A+B} \lambda +\mathrm {C} \lambda ^{2}+\ldots$ ; les coefficiens $\mathrm {A,B,C,\ldots }$ étant des fonctions de $t$ qui ne renferment point $\lambda$ et qu’il s’agit de déterminer ?

À cet énoncé, on reconnaît le Problème de Kepler. Pour le résoudre, on a employé jusqu’ici la série $\phi =t+A\operatorname {Sin} .t+B\operatorname {Sin} .2t+C\operatorname {Sin} .3t+\ldots .$ Ici les coefficiens $A,B,C,\ldots$ étaient des séries, ordonnées selon les puissances ascendantes de l’excentricité ; convergentes, à la vérité, mais pourtant infinies, et qui ne sont sommables