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RÉSOLUES.

mais, par le théorème de Simson,

\mathrm {{\overline {RF}}^{2}=LF.NF} \,;

donc

\mathrm {PR\times QR=PL\times QN} \,;

relation indépendante du point $\mathrm {M} ,$ et qui prouve par conséquent que, si la droite $\mathrm {PQ}$ se meut sur le plan du triangle $\mathrm {LRN} ,$ de manière à y satisfaire constamment, elle sera constamment tangente à une parabole, touchant respectivement $\mathrm {RL}$ et $\mathrm {RN}$ en $\mathrm {L}$ et $\mathrm {N} .$ ^[1]

↑ Ce problème fournit une application des plus simples de la théorie développée à la page 361 du 3.^e volume de ce recueil.
Soient $a,b$ ceux des côtés du triangle donné que la droite mobile doit couper suivant les conditions données ; et soient $A,B,$ respectivement, les segmens qu’elle détermine sur eux, du côté de leur point de concours ; en prenant $a$ et $b$ pour les axes des coordonnées, l’équation de la droite mobile sera

${\frac {x}{A}}+{\frac {y}{B}}=1\qquad$ ou $Bx+Ay=AB\,;\qquad$ (1)

et l’on aura la condition

$AB=(a-A)(b-B)\qquad$ ou $\qquad Ba+Ab=ab\,;\qquad$ (2)

faisant varier $A$ et $B,$ dans les équations (1) et (2), il viendra

$(x-a)\delta B+(y-B)\delta A=0,\qquad a\delta B+b\delta A=0\,;$

d’où

$b(x-A)=a(y-B)\,;\qquad$ (3)

tirant enfin des équations (2) et (3) les valeurs de $A$ et $B,$ pour les substituer dans l’équation (1), il viendra

$(ay-bx)^{2}-2ab(ay+bx)+a^{2}b^{2}=0\,;$

équation d’une parabole touchant les deux côtés $a,b$ à leurs points de concours avec le troisième.

Nous observerons que ceci peut fournir un mode de construction plus simple de la parabole de raccordement des routes, dont il est question à la page 250 du 1.^er volume de ce recueil.

On résoudrait, par un procédé analogue, le 2.^e problème de la page 28 du présent volume ; mais le calcul en est fort compliqué.
J. D. G.

[1] Ce problème fournit une application des plus simples de la théorie développée à la page 361 du 3.^e volume de ce recueil.
Soient $a,b$ ceux des côtés du triangle donné que la droite mobile doit couper suivant les conditions données ; et soient $A,B,$ respectivement, les segmens qu’elle détermine sur eux, du côté de leur point de concours ; en prenant $a$ et $b$ pour les axes des coordonnées, l’équation de la droite mobile sera

${\frac {x}{A}}+{\frac {y}{B}}=1\qquad$ ou $Bx+Ay=AB\,;\qquad$ (1)

et l’on aura la condition

$AB=(a-A)(b-B)\qquad$ ou $\qquad Ba+Ab=ab\,;\qquad$ (2)

faisant varier $A$ et $B,$ dans les équations (1) et (2), il viendra

$(x-a)\delta B+(y-B)\delta A=0,\qquad a\delta B+b\delta A=0\,;$

d’où

$b(x-A)=a(y-B)\,;\qquad$ (3)

tirant enfin des équations (2) et (3) les valeurs de $A$ et $B,$ pour les substituer dans l’équation (1), il viendra

$(ay-bx)^{2}-2ab(ay+bx)+a^{2}b^{2}=0\,;$

équation d’une parabole touchant les deux côtés $a,b$ à leurs points de concours avec le troisième.

Nous observerons que ceci peut fournir un mode de construction plus simple de la parabole de raccordement des routes, dont il est question à la page 250 du 1.^er volume de ce recueil.

On résoudrait, par un procédé analogue, le 2.^e problème de la page 28 du présent volume ; mais le calcul en est fort compliqué.
J. D. G.

[1]