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QUESTIONS

on a donc, par la proportionnalité des côtés,

$\mathrm {{\frac {FM}{OM}}={\frac {OM}{OM'}},\qquad {\frac {FM'}{FO}}={\frac {OM'}{OM}}\,;}$

d’où on tire, par l’élimination de $\mathrm {FO} ,$

$\mathrm {{\frac {{\overline {MO}}^{2}}{MF}}={\frac {{\overline {M'O}}^{2}}{M'F}}} \,;$

et ainsi se trouve démontré, en passant, le théorème de la page 60.

Soient présentement (fig. 12) $\mathrm {LP,PQ,QN}$ trois tangentes à une parabole dont le foyer est $\mathrm {F}$ ; soient $\mathrm {L,M,N}$ les points de contact respectifs des tangentes, et $\mathrm {R}$ le point de concours des tangentes extrêmes. Suivant le théorème de Simson

$Ang.\mathrm {LRF} =Ang.\mathrm {RNF} =Ang.\mathrm {MFQ} \,;$

d’où il suit que le quadrilatère $\mathrm {FPRQ}$ est inscriptible au cercle.

On a d’après cela

$Ang.\mathrm {RPF} =\varpi -Ang.\mathrm {RQF} =Ang.\mathrm {NQF} ,$

$Ang.\mathrm {RQF} =\varpi -Ang.\mathrm {RPF} =Ang.\mathrm {LPF} \,;$

les triangles $\mathrm {RPF,RQF}$ sont donc respectivement semblables triangles $\mathrm {NQF,LPF} ,$ et on a par conséquent

$\mathrm {QN:NF::PR:RF} ,$

$\mathrm {PL:LF::QR:RF} \,;$

d’où on tire, en multipliant

$\mathrm {{\overline {RF}}^{2}=LF.NF.{\frac {PR.QR}{QN.PL}}} \,;$

${\begin{aligned}Triang.\mathrm {MFM'} =&{\tfrac {1}{2}}\mathrm {FM\times FM'} \operatorname {Sin} .\mathrm {M'FM} ={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {rr'}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ),\\Triang.\mathrm {MFM''} =&{\tfrac {1}{2}}\mathrm {FM\times FM''} \operatorname {Sin} .\mathrm {M''FM} ={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {rr''}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha ),\\Triang.\mathrm {M''FM''} =&{\tfrac {1}{2}}\mathrm {FM'\times FM''} \operatorname {Sin} .M''FM'={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {r'r''}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha '),\\\end{aligned}}$

donc (1)

$Triang.\mathrm {MFM'} -Triang.\mathrm {MFM''} +Triang.\mathrm {M''FM'} =0.$

Propriété qui appartient exclusivement à la ligne droite.

J. D. G.