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RÉSOLUES.

$Ang.\mathrm {OMF} =Ang.\mathrm {M'OF} \,;$^[1]

1. La similitude de ces triangles peut être facilement déduite du théorème suivant :

   THÉORÈME, Si ayant mené, dans une parabole, un nombre quelconque des rayons vecteurs, de direction arbitraire, ou fait tourner tous ces rayons vecteurs, un seul excepté, autour du foyer de manière que les angles qu’ils forment respectivement avec le rayon vecteur fixe soient diminués de moitié ; et si, en même temps, on allonge ou on racourcit les rayons vecteurs mobiles de manière que leur nouvelle longueur soit moyenne proportionnelle entre la longueur du rayon vecteur fixe et leur longueur primitive ; leurs extrémités se trouveront toutes alors sur la tangente à l’extrémité du rayon vecteur fixe.

   Ce théorème n’est lui-même qu’un cas particulier de cet autre théorème :

   THÉORÈME. La ligne dont les rayons vecteurs sont moyens proportionnels entre ceux d’une parabole et une longueur arbitraire donnée, et où ces rayons vecteurs forment, deux à deux, des angles moitié de ceux que forment leurs correspondans dans cette parabole, est une ligne droite.

   Ce dernier théorème se démontre assez simplement comme il suit :

   Soient $r,r',r''$ trois rayons vecteurs d’une parabole dont la distance du sommet au foyer soit $p$ ; et soient $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$ les angles que forment respectivement ces rayons vecteurs avec $p,$ on sait qu’on aura

   $\left.{\begin{aligned}r\ \,\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \,\ =p,\\r'\,\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha '\,=p,\\r''\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ''=p,\\\end{aligned}}\right\}{\text{d’où}}\left\{{\begin{aligned}{\sqrt {r}}\,\ .\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \,\ ={\sqrt {p}},\\{\sqrt {r'}}\,.\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha '\,={\sqrt {p}},\\{\sqrt {r''}}.\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ''={\sqrt {p}}.\\\end{aligned}}\right.$

   Prenant la somme des produits respectifs de ces trois dernières équations par $+{\sqrt {r'r''}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha '),\ -{\sqrt {rr''}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha )+{\sqrt {rr'}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ),\$ et réduisant, il viendra

   ${\sqrt {rr'}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha )-{\sqrt {rr''}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha ')+{\sqrt {r'r''}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha ')=0.\quad$(1)

   Or, soient présentement $\mathrm {M,M',M''}$ trois points de la ligne dont on cherche la nature, $\mathrm {F}$ le pôle auquel on la rapporte et $a$ la longueur arbitraire donnée ; on aura, par hypothèse,

   $Ang.\mathrm {M'FM} ={\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ),\quad Ang.\mathrm {M''FM} ={\tfrac {1}{2}}(\alpha '-\alpha ),\quad Ang.\mathrm {M''FM'} ={\tfrac {1}{2}}(\alpha ''-\alpha ')\,;$
   $\mathrm {FM} ={\sqrt {ra}},\qquad \mathrm {FM'} ={\sqrt {r'a}},\qquad \mathrm {FM''} ={\sqrt {r''a}}\,;$

   d’où