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AU PREMIER ORDRE.

$g$ ni aux indices. Soient, pour un terme pris au hazard dans le polynôme, $p$ et $q$ les indices respectifs de $g$ et $h\,;$ ce polynôme, renfermant toutes les permutations, doit avoir un autre terme ne différant uniquement de celui-là qu’en ce que c’est $h$ qui y porte l’indice $p$ et $g$ l’indice $q\,:$ et de plus (9) ces deux termes doivent être affectés de signes contraires ; ils se détruiront donc, lorsqu’on changera $h$ en $g\,;$ et il en sera de même de tous les autres termes pris deux à deux.

12. La lettre $a$ devant se trouver dans tous les termes du polynôme $D,$ et ne pouvant se trouver qu’une seule fois dans chacun ; ce polynôme peut être ordonné suivant les indices de cette lettre, ainsi qu’il suit :

$D=A_{1}a_{1}+A_{2}a_{2}+A_{3}a_{3}+\ldots +A_{m}a_{m}\,;\qquad$(1)

$A_{1},A_{2},A_{3},\ldots A_{m}$ étant des fonctions de $b_{1},c_{1},d_{1},\ldots ,$$b_{2},c_{2},d_{2},\ldots ,b_{m},c_{m},d_{m}.$ Alors, d’après ce qui vient d’être dit (11), on devra avoir

$\left.{\begin{aligned}0&=A_{1}b_{1}+A_{2}b_{2}+A_{3}b_{3}+\ldots +A_{m}b_{m},\\0&=A_{1}c_{1}+A_{2}c_{2}+A_{3}c_{3}+\ldots +A_{m}c_{m},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\quad (2)$^[1]

Le polynôme $D,$ ordonné par rapport à quelqu’autre lettre, donnerait lieu à des conséquences analogues.

13. Ces choses entendues, soient, entre les $m$ inconnues $x,y,z,\ldots$, les $m$ équations

1. Ce sont ces fonctions dont il a été question à la page 153 du 3.^e volume de ce recueil.