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ÉLIMINATION

l’ordre alphabétique, le nombre des inversions sera nul ; et qu’au contraire il n’y aura que des inversions, lesquelles par conséquent seront au nombre de ${\tfrac {1}{2}}m(m-1),$ si elles sont écrites dans un ordre absolument inverse de celui de l’alphabet.

6. Soit $\mathrm {M}$ un arrangement quelconque de nos $m$ lettres ; permutons-y entre elles deux lettres consécutives quelconques, sans toucher aucunement aux autres ; et soit $\mathrm {M'}$ le nouvel arrangement qui en résulte. Je dis que, dans $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M'} ,$ les nombres d’inversions sont d’espèces différentes. En effet, les deux lettres permutées devant nécessairement former une inversion dans l’un des arrangemens $\mathrm {M,M'} ,$ et n’en point former dans l’autre ; et toutes les autres lettres demeurant, dans les deux arrangemens, disposées de la même manière, soit entre elles, soit par rapport à celle-là ; il s’ensuit que, soit en plus soit en moins, le nombre des inversions de $\mathrm {M'}$ diffère seulement d’une unité du nombre des inversions de $\mathrm {M} \,;$ ces deux nombres sont donc d’espèces différentes.

7. Il suit de là que, si l’on déplace une seule lettre d’une manière quelconque, l’espèce du nombre des inversions demeurera la même ou se trouvera changée, suivant que le nombre des places parcourues par cette lettre sera pair ou impair. En effet, on peut concevoir que le déplacement ne s’opère que successivement, par la permutation continuelle de cette lettre avec sa voisine, soit de droite soit de gauche ; or, à chaque permutation partielle (6), l’espèce du nombre des inversions variera ; donc, à la fin (3), l’espèce du nombre des inversions se retrouvera la même qu’au commencement ou sera changée, selon que le nombre de permutations partielles, c’est-à-dire, le nombre des places parcourues sera pair ou impair.

8. Concluons de là que, si l’on déplace deux lettres, pour leur faire parcourir, en tout, un nombre impair de rangs, l’espèce du nombre des inversions se trouvera nécessairement changée. Il est clair, en effet, qu’il faut, pour cela, que l’une des deux lettres déplacées parcoure un nombre pair de rangs, ce qui ne change pas (7) l’espèce du nombre des inversions, et que l’autre en par-