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DES GRANDEURS IMAGINAIRES.

Supposons que le demi-cercle $\mathrm {ABC}$ tourne autour de $\mathrm {AC} ,$ le point $\mathrm {B}$ décrivant le cercle $\mathrm {BPDQ} \,;$ puisqu’on a déjà

$\operatorname {Ang} .{\overline {\mathrm {AKB} }}=+{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{4}}.(+1),$

$\operatorname {Ang} .{\overline {\mathrm {AKD} }}=-{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{4}}.(-1)\,;$

on pourra dire que

$\operatorname {Ang} .{\overline {\mathrm {AKP} }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}}={\tfrac {1}{4}}.1_{\tfrac {1}{4}}\,;$

d’où on conclura

${\overline {\mathrm {KP} }}=1_{{\tfrac {1}{4}}.1_{\tfrac {1}{4}}}=1_{{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}}}=1^{{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}}}=\left(1^{\tfrac {1}{4}}\right)^{\sqrt {-1}}=\left({\sqrt {-1}}\right)^{\sqrt {-1}}.$

Telle paraît devoir être l’expression analitique demandée.

Si l’on prend un point $\mathrm {M}$ sur le cercle $\mathrm {BPD}$ tel qu’on ait $\operatorname {Ang} .\mathrm {BKM} =\mu ,$ on aura pareillement

$\operatorname {Ang} .{\overline {\mathrm {AKM} }}={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {Cos} .\mu +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\mu \right)\,;$

et, en faisant pour abréger $\operatorname {Cos} .\mu +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\mu =\rho ,$

${\overline {\mathrm {KM} }}=1_{{\tfrac {1}{4}}\rho }=1^{{\tfrac {1}{4}}\rho }=\left(1^{\tfrac {1}{4}}\right)^{\rho }=\left({\sqrt {-1}}\right)^{\operatorname {Cos} .\mu +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\mu }.$

c’est l’expression générale de tous les rayons perpendiculaires au rayon primitif de ${\overline {\mathrm {KA} }}.$

Cherchons maintenant l’expression de l’angle $\mathrm {\overline {BKP}} .$

De part et d’autre du point $\mathrm {B} ,$ sur la circonférence $\mathrm {ABC} ,$ les angles sont positifs et négatifs réels, et le plan $\mathrm {BKP}$ est perpendiculaire à leur direction ; il semblerait donc que l’angle $\mathrm {\overline {BKP}}$ est ainsi que l’angle ${\overline {\mathrm {AKP} }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}},$ et qu’il en doit être de même de tout angle $\mathrm {{\overline {NKP}},\ N}$ étant pris sur la circonférence $\mathrm {ABCD} \,;$ mais on s’aperçoit bientôt de la fausseté de cette conclusion, en faisant coïncider $\mathrm {N}$ avec le point $\mathrm {C} ,$ ce qui donnerait ${\overline {\mathrm {CKP} }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}},$ tandis que cet angle est évidemment $-{\overline {\mathrm {AKP} }}=-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-1}}.$