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CONSTRUCTION GÉOMETRIQUE.

d’où$\qquad \qquad {\overline {\mathrm {AN} }}^{2}=-(2\operatorname {Sin} .a)^{2}\left(\operatorname {Cos} .2a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2a\right),$

${\overline {\mathrm {AN} }}^{3}=-{\sqrt {-1}}(2\operatorname {Sin} .a)^{3}\left(\operatorname {Cos} .3a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .3a\right),$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

En substituant ces valeurs dans la série (D) et séparant, il vient

$2a=+{\frac {2\operatorname {Sin} .a}{1}}\operatorname {Cos} .a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{2}}{2}}\operatorname {Sin} .2a-{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{3}}{3}}\operatorname {Sin} .3a-\ldots$

$0=-{\frac {2\operatorname {Sin} .a}{1}}\operatorname {Sin} .a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{2}}{2}}\operatorname {Cos} .2a+{\frac {(2\operatorname {Sin} .a)^{3}}{3}}\operatorname {Sin} .3a-\ldots$

9. Nous bornerons ici ces applications. On peut, ainsi que nous l’avons fait dans notre Essai, obtenir, d’une manière analogue, les principaux théorèmes de la trigonométrie, comme les développemens de $\operatorname {Sin} .na,\operatorname {Cos} .na,$$(\operatorname {Sin} .a)^{n},$$(\operatorname {Cos} .a)^{n},$les sommes de séries $\operatorname {Sin} .a+\operatorname {Sin} .(a+b)+$$\operatorname {Sin} .(a+2b)$$+\ldots ,$$\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .(a+b)+\operatorname {Cos} .(a+2b)+\ldots ,$ et la décomposition de $x^{2n}-2x\operatorname {Cos} .na+1$ en facteurs du second degré.

Comme application à l’algèbre, nous démontrerons que tout polynôme

$x^{n}+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\ldots +fx+g,$

est décomposable en facteurs du premier degré ou, ce qui revient au même, qu’on peut toujours trouver une quantité qui, prise pour $x,$ rende égal à zéro le polynôme proposé que nous désignerons par $y.$ Les lettres $a,b,\ldots f,g$ n’étant point d’ailleurs restreintes ici à n’exprimer que des nombres réels.

Soient $y_{p},y_{p+\rho i}$ les valeurs de $y$ résultant des suppositions $x=p,$ $x=p+\rho i\,;p$ et $i$ étant des nombres pris à volonté et $\rho$ désignant un rayon en direction ; on aura

$y_{p}=p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+\ldots fp+g,$

$y_{p+\rho i}=(p+\rho i)^{n}+a(p+\rho i)^{n-1}+b(p+\rho i)^{n-2}+\ldots +f(p+\rho i)+g$

$=y_{p}+i\rho Q+i^{2}\rho ^{2}R+i^{2}\rho ^{2}R+i^{3}\rho ^{3}S+\ldots +i^{n}\rho ^{n}\,;$

$Q,R,S,\ldots$ étant des quantités connues, dépendantes de $p,n,$