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DES GRANDEURS IMAGINAIRES.

$\operatorname {Log} .(1+x)=-mn{\sqrt {-1}}\left[-1+(1+x)^{\frac {1}{n}}\right]$

$=-mn{\sqrt {-1}}\left(-1+1+{\frac {1}{n}}x-{\frac {1}{2n}}x^{2}+\ldots \right)$

$=-mn{\sqrt {-1}}\left(x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots \right)$

ou encore, parce que $m$ est indéterminé

$\operatorname {Log} .(1+x)=m\left(x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots \right).$

Divisons les deux arcs égaux $\mathrm {AN,AN'} ,$ (fig. 8) en $n$ parties égales ; tirons la double tangente $nn'$ et les sécantes $\mathrm {K} b,\mathrm {K} c,\ldots$ nous aurons (8)

${\frac {\ldots }{\ldots }}{\frac {\mathrm {\overline {KA}} }{\mathrm {\overline {KA}} }}:{\frac {\overline {\mathrm {K} b}}{\overline {\mathrm {K} b'}}}:{\frac {\mathrm {\overline {KC}} }{\mathrm {\overline {KC'}} }}:\ldots :{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}\,;$

donc les arcs correspondans, ou certains multiples de ces arcs peuvent encore être pris pour les logarithmes de ces mêmes quantités, savoir :

$m.\mathrm {AN} =\operatorname {Log} .{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}.$

Soit $\mathrm {AN} =x\,;$ on a

$mx=\operatorname {Log} .{\frac {\overline {\mathrm {K} n}}{\overline {\mathrm {K} n'}}}=\operatorname {Log} .{\frac {{\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {A} n}}}{{\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {A} n'}}}}=\operatorname {Log} .{\frac {1+{\sqrt {-1}}\operatorname {Tang} .x}{1-{\sqrt {-1}}\operatorname {Tang} .x}}.$

Soit encore (fig. 9) l’arc $\mathrm {AN} =2a$ divisé en un nombre infini de parties égales, dont $\mathrm {AB}$ soit la première, prenons $\mathrm {AP} ={\frac {\mathrm {AN} }{2}}=a,$ et tirons $\mathrm {AN,KP}$ et $\mathrm {P} \phi \,;$ nous aurons

$2a{\sqrt {-1}}=2AN{\sqrt {-1}}=2n.AB{\sqrt {-1}}=2n.{\overline {\mathrm {AB} }}=2n\left({\overline {\mathrm {AK} }}+{\overline {\mathrm {KB} }}\right)$

$=2n\left(-1+{\overline {\mathrm {KN} }}^{\frac {1}{n}}\right)=2n\left[-1+\left({\overline {\mathrm {KA} }}+{\overline {\mathrm {AN} }}\right)^{\frac {1}{n}}\right]=2n\left[-1+\left(1+{\overline {\mathrm {AN} }}\right)^{\frac {1}{n}}\right]$

$=2n\left(-1+1+{\frac {1}{n}}{\overline {\mathrm {AN} }}+{\frac {{\frac {1}{n}}.{\frac {1}{n}}-1}{1.2}}{\overline {\mathrm {AN} }}^{2}+\ldots \right)=2\left({\overline {\mathrm {AN} }}-{\frac {{\overline {\mathrm {AN} }}^{2}}{2}}+{\frac {{\overline {\mathrm {AN} }}^{3}}{3}}-\ldots \right)\,;\quad$(D)

mais (8), ${\overline {\mathrm {AN} }}=2{\overline {p\mathrm {N} }}=2{\overline {\phi \mathrm {P} }}\times {\overline {\mathrm {KP} }}=2{\overline {\phi \mathrm {P} }}\left({\overline {\mathrm {K} \phi }}+{\overline {\phi \mathrm {P} }}\right)$

$=2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a\left(\operatorname {Cos} .a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a\right)\,;$