Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/148

140

CONSTRUCTION GÉOMETRIQUE.

Donc, en séparant,

$\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b=-2\operatorname {Sin} .{\frac {a-b}{2}}\operatorname {Sin} .{\frac {a+b}{2}},$

$\operatorname {Sin} .a-\operatorname {Sin} .b=+2\operatorname {Sin} .{\frac {a-b}{2}}\operatorname {Cos} .{\frac {a+b}{2}}.$

Soient (fig. 7) $\mathrm {AB,BC,\ldots EN,}$ des arcs égaux, au nombre de $n\,;$ et faisons $\mathrm {AB} =a.$ Nous aurons

$\operatorname {Cos} .na+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .na=\operatorname {Cos} .\mathrm {AN} +{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\mathrm {AN} ={\overline {\mathrm {K\nu } }}+{\overline {\mathrm {\nu N} }}=$

${\overline {\mathrm {KN} }}={\overline {\mathrm {KB} }}^{n}=\left({\overline {\mathrm {K} \beta }}+{\overline {\beta \mathrm {B} }}\right)^{n}=\left(\operatorname {Cos} .a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a\right)^{n}.$

On aura encore

$\operatorname {Cos} .a+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .a={\overline {\mathrm {K} \beta }}+{\overline {\beta \mathrm {B} }}={\overline {\mathrm {KB} }}={\overline {\mathrm {KN} }}^{\frac {1}{n}}=\left({\overline {\mathrm {K} \nu }}+{\overline {\nu \mathrm {N} }}\right)^{\frac {1}{n}}$

$={\overline {\mathrm {K} \nu }}^{\frac {1}{n}}\left\{1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {\overline {\nu \mathrm {N} }}{\overline {\mathrm {K} \nu }}}\right)+{\frac {{\frac {1}{n}}.{\frac {1}{n}}-1}{1.2}}\left({\frac {\overline {\nu \mathrm {N} }}{\overline {\mathrm {K} \nu }}}\right)^{2}+{\frac {{\frac {1}{n}}.{\frac {1}{n}}-1.{\frac {1}{n}}-2}{1.2.3}}\left({\frac {\overline {\nu \mathrm {N} }}{\overline {\mathrm {K} \nu }}}\right)^{3}+\ldots \right\}$

$=\left(\operatorname {Cos} .na\right)^{\frac {1}{n}}\left\{1+{\tfrac {1}{n}}.{\frac {\sqrt {-1\operatorname {Sin} .na}}{\operatorname {Cos} .na}}+{\tfrac {{\frac {1}{n}}.{\frac {1}{n}}-1}{1.2}}.{\frac {(-1)\operatorname {Sin} .^{2}na}{\operatorname {Cos} .na}}+\ldots \right\}.$

Faisant $na=x$ et ensuite $n=\infty ,$ on obtient, par les termes affectés de ${\sqrt {-1}},$

$x=\operatorname {Tang} .x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}x-\ldots$

Soit l’arc $\mathrm {AN}$ (fig. 7) divisé en $n$ parties égales. Les rayons $\mathrm {{\overline {KA}},{\overline {KB}},{\overline {KC}},\ldots }$ forment une progression géométrique, et les arcs correspondans, ou certains multiples de ces arcs, peuvent être pris pour les logarithmes de ces rayons.

Posons $\operatorname {Log} .{\overline {\mathrm {KN} }}=m\mathrm {AN} =mn\mathrm {AB} ,\ m$ étant le module indéterminé. Si l’on fait $n=\infty ,$ l’arc $\mathrm {AB}$ pourra être considéré comme une droite perpendiculaire sur ${\overline {\mathrm {KA} }}\,;$ on aura donc ${\overline {\mathrm {AB} }}={\sqrt {-1}}\mathrm {AB} \,;$ ou $\mathrm {AB} =-{\sqrt {-1}}\mathrm {\overline {AB}}$ ainsi

$\operatorname {Log} .{\overline {\mathrm {KN} }}=mn\mathrm {AB} =-mn{\sqrt {-1}}{\overline {\mathrm {AB} }}=-mn{\sqrt {-1}}\left({\overline {\mathrm {AK} }}+{\overline {\mathrm {KB} }}\right)=$

$-mn{\sqrt {-1}}\left(-1+{\overline {\mathrm {KN} }}^{\frac {1}{n}}\right).$

Faisant ${\overline {\mathrm {KN} }}=1+x,$ il vient