C’est là le principe fondamental de la théorie dont nous avons essayé de poser les premières bases, dans l’écrit dont nous donnons ici un extrait. Ce principe n’a rien au fond de plus étrange que celui sur lequel est fondée la conception du rapport géométrique entre deux lignes de signes différens, et il n’en est proprement qu’une généralisation.
5. Comme, dans ce qui suivra, nous aurions à répéter fréquemment la phrase : lignes considérées comme tirées dans une certaine direction, nous emploirons l’expression abrégée : lignes en direction ou lignes dirigées ; et nous dénoterons par la ligne dirigée de en et par simplement, cette même ligne, considérée dans sa grandeur absolue. Nous préférons le mot de direction à celui de position, parce que le premier indique, entre les deux extrémités de la ligne, une différence, essentielle dans notre théorie, que ne marque pas le dernier. Nous pourrons réserver celui-ci pour désigner collectivement deux directions opposées, et nous dirons que et ont la même position.
6. Nous allons maintenant examiner comment les lignes dirigées se combinent entre elles par addition et multiplication ; et en construire les sommes et les produits.
La multiplication ne présente aucune difficulté. Un produit n’étant autre chose que le quatrième terme de la proportion il ne s’agit que d’appliquer aux lignes données le principe du n.o 4.
Quant à l’addition, la règle que nous allons donner peut se démontrer facilement par les théorèmes qui donnent les sinus et cosinus de la somme de deux arcs ; mais il semble qu’il serait plus élégant de la tirer, a priori, des principes de la chose. En raisonnant par analogie, on peut remarquer que, lorsqu’il s’agit d’ajouter deux lignes, positives ou négatives on a pour règle générale quels que soient les signes, de tirer d’abord l’une des lignes, par exemple ; de prendre le point d’arrivée de cette ligne pour point de départ de la ligne de tirer ensuite et la ligne dont les points de départ et d’arrivée sont respective-
