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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}&\left\{{\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {-47}}\right)x^{2}+8x+{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {-47}}\right)\right\}\\\times &\left\{{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {-47}}\right)x^{2}+8x+{\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {-47}}\right)\right\}.\\\end{aligned}}$

Troisième cas. $n=3.$

Soit le produit proposé

$ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+cx^{2}+bx+a.$

En posant ce produit égal à

$\left.{\begin{aligned}\left(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D\right)\left(Dx^{3}+Cx^{2}+Bx+A\right)=ADx^{6}&+AC\\&+BD\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{5}&+AB\\&+BC\\&+CD\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{4}&+A^{2}\\&+B^{2}\\&+C^{2}\\&+D^{2}\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\&+\ldots \\\\\end{aligned}}$

on aura, pour déterminer $A,B,C,D,$ les quatre équations

$AD=a,\ AC+BD=b,\ AB+BC+CD=c,\ A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=d,$

en y joignant les quatre suivantes

$AD=M,\qquad$(1)$\qquad A^{2}+D^{2}=P,\qquad$(3)

$BC=N,\qquad$(2)$\qquad B^{2}+C^{2}=Q,\qquad$(4)

elles deviendront

$M=a,\ (5)\ AC+BD=b,\ (6)\ AB+CD=c-N,\ (7)\ P+Q=d,\ (8)$

en prenant successivement le produit et la somme des quarrés des équations (6), (7), et ayant égard aux équations (1), (2), (3), (4), il vient

$NP+MQ=bc-bN,$ (9) $PQ+4MN=(b^{2}+c^{2})-2cN+N^{2},$ (10)

éliminant $M$ et $N$ entre les équations (5), (9), (10), il viendra

$a^{2}Q^{2}-\left\{P^{3}-2bP^{2}-\left[2a(c+2a)-b^{2}\right]P-4abc\right\}Q$

$+\left\{\left(b^{2}+c^{2}\right)P^{2}+2b\left(b^{2}-2ac\right)P+b^{2}\left(b^{2}-4ac\right)\right\}=0,$

chassant enfin $Q$ de cette équation, au moyen de l’équation (8), elle deviendra