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QUESTIONS

$(A+C)^{2}=(c+2a)-B^{2}\,;$

mais la seconde donne

$(A+C)^{2}={\frac {b^{2}}{B^{2}}}\,;$

on aura donc, par l’égalité de ces deux valeurs,

$B^{4}-(c+2a)B^{2}+b^{2}=0$

d’où, en négligeant le double signe de $B,$

$B={\sqrt {\frac {(c+2a)\pm {\sqrt {(c+2a)^{2}-4b^{2}}}}{2}}}\,;$

d’un autre côté, en retranchant le double de l’équation $AC=a$ de l’équation $A^{2}+C^{2}=c-B^{2},$ et extrayant ensuite la racine quarrée, il vient

$A-C={\sqrt {(c-2a)-B^{2}}}\,;$

et puisqu’on a d’ailleurs

$A+C={\frac {b}{B}},$

on trouvera

$A={\frac {b}{2B}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(c-2a)-B^{2}}},\qquad C={\frac {b}{2B}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(c-2a)-B^{2}}}\,;$

au moyen de quoi tout sera connu, dans les deux facteurs du produit donné.

Application. Si le produit donné est

$12x^{4}+8x^{3}+41x^{2}+8x+12,$

on aura $a=12,b=8,c=41,$ d’où $c+2a=65,c-2a=17,$ $(c+2a)^{2}=4225,(c+2a)^{2}-4b^{2}=3969,{\sqrt {(c+2a)^{2}-4b^{2}}}=63,B=1$ ou $8,A=6$ ou ${\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {-47}}\right),C=2$ ou ${\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {-47}}\right)\,;$

le produit décomposé sera donc

$(2x^{2}+x+6)(6x^{2}+x+2),$

ou bien