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RÉSOLUES.

$\left.{\begin{aligned}AHx^{2n}&+AG\\&+BH\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2n-1}&+AF\\&+BG\\&+CH\\\\\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2n-2}+\ldots &+A^{2}\\+\ldots &+B^{2}\\+\ldots &+C^{2}\\&+\ldots \\&+F^{2}\\&+G^{2}\\&+H^{2}\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{n}+\ldots &+AG\\+\ldots &+BH\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\+\ldots &\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x+&AH\,;\\\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\right|$ (3)

exprimant donc que ce produit est identique avec le polynôme (1), on obtiendra les $n+1$ équations

${\begin{aligned}AH&=a,\\AG+BH&=b,\\AF+BG+CH&=c,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\A^{2}+B^{2}+C^{2}+\ldots +F^{2}&+G^{2}+H^{2}=h\,;\\\end{aligned}}$

lesquelles seront en nombre suffisant pour déterminer les $n+1$ coefficiens $A,B,\ldots G,H,$ qui sont ici les inconnues du problème.

Remarques. Comme le produit (1) ne change pas en changeant les signes de ses facteurs, il s’ensuit qu’à chaque valeur de chacun des coefficiens $A,B,\ldots G,H,$ il doit nécessairement en répondre un autre qui n’en diffère que par le signe. Cette circonstance doit donc doubler le degré des équations du problème.

De plus, l’échange des facteurs entre eux ne devant pas changer le produit, et un même coefficient se trouvant dans l’un occuper le même rang, en allant de gauche à droite, qu’il occupe dans l’autre, en allant de droite à gauche ; il s’ensuit que les coefficiens également distans des extrêmes, dans l’un quelconque des facteurs, doivent être donnés, tous deux, par la même équation : circonstance