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FIGURÉS.

l’on trouve une expression de $P_{k,n}$ qui, renfermant la totalité de ces termes, satisfasse à l’équation (13), elle en sera la valeur complète.

Or, l’expression

$P_{k,n}=(k-1,n)P_{0,0}+(k-1,n-1)P_{0,1}+\ldots +(k-1,1)P_{0,n-1}+(k-1,0)P_{0,n},$ (14)

satisfait d’abord à la première de ces deux conditions ; elle satisfait en outre à la seconde. On en tire en effet

$P_{k-n,1}=(k-2,n)P_{0,0}+(k-2,n-1)P_{0,1}+\ldots +(k-2,1)P_{0,n-1}+(k-2,0)P_{0,n},$

$P_{k,n-1}=(k-1,n-1)P_{0,0}+(k-1,n-2)P_{0,1}+\ldots +(k-1,0)P_{0,n-1}\,;$

d’où on conclut, en ajoutant, et ayant égard à l’équation (8),

$P_{k-1,n}+P_{k,n-1}=(k-1,n)P_{0,0}+(k-1,n-1)P_{0,1}+\ldots$

$+(k-1,1)P_{0,n-1}+(k-1,0)P_{0,n}=P_{k,n}\,;$

ce qui est précisément l’équation (13).

Si, dans l’équation (14), on change $k$ en $m-n+1,$ elle deviendra

$P_{m-n+1,n}=(m-n,n)P_{0,0}+(m-n,n-1)P_{0,1}+\ldots +(m-n,0)P_{0,n}\,;\qquad$(15)

équation qui va nous servir tout à l’heure.

Dans la table à double entrée dont il s’agit ici, les termes de la seconde ligne sont dits les sommes premières de ceux de la première ; ceux de la troisième en sont dits les sommes secondes, et ainsi de suite.

Soit présentement l’équation quelconque

$P_{0,0}x^{m}+P_{0,1}x^{m-1}+P_{0,2}x^{m-2}+\ldots +P_{0,n}x^{m-n}+\ldots +P_{0,m-1}x+P_{0,m}=0.\$(16)

Soit posé $x-1=y,$ d’où $x=y+1.$ En substituant, et conservant toujours les mêmes notations, il viendra

$\left.{\begin{aligned}P_{0,0}y^{m}&+(m-1,1)P_{0,0}\\&+(m-1,0)P_{0,1}\\&\\&\\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{m-1}&+\ldots +(m-n,n)P_{0,0}\\&+\ldots +(m-n,n-1)P_{0,1}\\&+\ldots +(m-n,n-2)P_{0,2}\\&+\ldots \\&+\ldots +(m-n,0)P_{0,n}\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{m-n}&+\ldots +P_{0,0}\\&+\ldots +P_{0,1}\\&+\ldots +P_{0,2}\\&+\ldots +P_{0,3}\\&+\ldots +\\&+\ldots +P_{0,m}\\\end{aligned}}\right|=0\,;$(17)